POLO DE INSPIRACIÓN – El hilo de Ariadna

Los que gusten de problemas sencillos, pueden intentar demostrar esta relación antes de seguir adelante. Es insultantemente fácil:

φ = 1/φ +1 = φ-1+1 = 1/φ-1

Debemos este afortunado descubrimiento a John Arioni. El que quiera puede ver la elemental demostración, junto a otras relaciones inesperadas, en la página correspondiente de Cut the knot, [1]. El número φ es, naturalmente, la razón áurea (1+√ 5)/2, en cifras decimales 1,6180339887…, y cuyo recíproco es 0,6180339887… . Y puesto que sus infinitas cifras pueden calcularse por medio de la fracción continua más simple, aquí también la llamaremos razón continua o proporción continua, debido a su rol de mediador entre aspectos discretos y continuos de la naturaleza y la matemática.

Podría pensarse que esta es la típica asociación casual de las páginas de matemáticas recreativas. Se puede obtener φ de muchas maneras con círculos, pero por lo que sé ésta es la más elemental de todas, y la única en que la unidad de referencia es el radio. Dicho de otro modo, esta relación parece demasiado simple y directa para no contener algo importante. Y sin embargo no se ha descubierto sino muy recientemente.

John Arioni

Desde Euclides y probablemente desde mucho antes, la entera historia de las investigaciones sobre esta proporción se ha derivado de la división de un segmento “en extrema y media razón”, y ha proseguido con la construcción de cuadrados y rectángulos. Los casos más inmediatos implicando al círculo provienen de la construcción del pentágono y el pentagrama, conocidos sin duda por los pitagóricos; pero no hace falta saber nada de matemáticas para darse cuenta de que la relación contenida en este símbolo es de un orden mucho más fundamental —tanto como, desde el punto de vista cuantitativo, el 2 está más cerca del 1 que el 5, o desde el punto cualitativo, la díada está más cerca de la mónada que la péntada.

Si el círculo y su punto central son el símbolo más general y abarcador de la mónada o unidad, aquí sin duda tenemos la proporción más inmediata y reveladora de la reciprocidad, o simetría dinámica, presentada tras la división en dos partes. El Taijitu tiene una doble función, como símbolo del Polo supremo, más allá de la dualidad, y como representación de la primera gran polaridad o dualidad. Se encuentra, como si dijéramos, a mitad de camino entre ambos, y ambos se vinculan por una relación ternaria —justamente la proporción continua.

Una relación es la percepción de una conexión dual, mientras que una proporción o correlación implica una relación de tercer orden, una “percepción de la percepción”. Desde al menos los tiempos del triángulo de Kepler, hemos sabido que la razón áurea articula y conjuga en sí misma las tres medias más fundamentales de la matemática: la media aritmética, la media geométrica, y la llamada media armónica entre ambas.

Podríamos preguntarnos qué hubiera ocurrido si Pitágoras hubiera conocido esta correlación, que ciertamente habría exaltado a Kepler también. Se dirá que, como cualquier otro supuesto contrafáctico, la pregunta es irrelevante. Pero la pregunta podría no estar dirigida tanto a los pasados que pudieron ser como a los futuros posibles. Pitágoras difícilmente hubiera podido sorprenderse tanto como nosotros, puesto que nada sabía de los valores decimales de φ o de π . Hoy sabemos que son dos razones con un número infinito de cifras, y que sin embargo se vinculan de manera exacta por la más elemental relación triangular.

La verdad matemática está más allá del tiempo, pero su revelación y construcción no. Esto nos permite ver ciertas cosas con la mirada de una Geohistoria, como si dijéramos, en cuatro dimensiones. Se ha especulado sobre lo que habría pasado si los griegos hubieran conocido y hecho uso del cero, sobre si tal vez hubieran desarrollado el cálculo moderno. Ello es muy dudoso, pues aún habrían necesitado dar una serie de grandes saltos muy lejanos a su concepción del mundo, como el sistema de numeración, el cero y su uso posicional, la idea de derivada, etcétera. Las espirales dobles eran un motivo común en la Grecia arcaica, y las especulaciones aritmológicas de los pitagóricos, muy similares en naturaleza a las que con el paso del tiempo desarrollaron los chinos; pero por lo que fuera los griegos no entrelazaron las dos espirales en una, y, en la misma China, no se llegó a un diagrama como el que hoy conocemos sino hasta finales de la dinastía Ming, tras una larga evolución.

Lo que es sólo otro ejemplo de cuánto cuesta ver lo más simple. No es tanto la cosa misma, sino el contexto en el que emerge y en el que encaja. Según se mire, esto puede ser tan alentador como desalentador. En el conocimiento siempre hay un alto margen para simplificar, pero como en tantas otras cosas, ese margen depende en la mayor medida de saber encontrar las circunstancias.

El Taijitu, el símbolo del polo supremo, es un círculo, una onda y un vórtice todo en uno. Por supuesto, el vórtice está reducido a su mínima expresión en la forma de una doble espiral. De forma característica, los griegos separaron sus espirales dobles, y llegaron con el tiempo a dibujarlas cuadradas, en lo que hoy conocemos como grecas. No es sino otra expresión de su gusto por la estática, un gusto que también sirvió de marco general para la recepción de la proporción continua en la matemática y el arte, y que ha llegado hasta nosotros a través del Renacimiento.

La serie de números que aproximan hasta el infinito la razón continua, conocida ahora como números de Fibonacci, aparecía ya mucho antes en los triángulos de números consagrados en la India al monte Meru, “la montaña que rodea al mundo”, que es justamente otra designación del Polo. Como es sabido, de esta figura, conocida en Occidente como triángulo de Pascal, se derivan un enorme número de propiedades combinatorias, de teoría de la probabilidad o de escalas y secuencias de notas musicales.

El triángulo polar, conocido en otras culturas como triángulo de Khayyam o triángulo de Yang Hui, es uno de esos objetos matemáticos de los que se dice que están “extraordinariamente bien conectados”: de él pueden derivarse la expansión binomial, las distribuciones binomial y normal de la estadística, la transformada sen(x)n+1/x del análisis armónico, la matriz y la función exponencial, o los valores de los dos grandes engranajes del cálculo, las constantes π y e. Resulta casi increíble que la elemental conexión con el número de Euler no se haya descubierto hasta el año 2012 —por Harlan J. Brothers. Se trata, en lugar de sumar todas las cifras de cada fila, simplemente de extraer la ratio de ratios de su producto; la diferencia entre sumas y productos es un motivo que emergerá varias veces a lo largo de este artículo.

El triángulo polar parece una representación aritmética y “estática”, mientra que el Taijitu es como una instantánea geométrica de algo puramente dinámico. Sin embargo las complejas implicaciones para la música de este triángulo, parcialmente exploradas por el gran trabajo de investigación de Ervin Wilson, burlan en buena medida las separaciones creadas por adjetivos como “estático” y “dinámico”. En cualquier caso, si la escalera de cifras descrita por el monte Meru es un despliegue infinito, al ver las líneas escondidas en el diagrama circular del Polo sabemos de inmediato que se trata de algo irreductible —la primera nos ofrece su despliegue aritmético y la segunda su repliegue geométrico.

La primera mención conocida del triángulo, si bien de forma críptica, se encuentra en el Chandaḥśāstra de Pingala, donde el monte Meru se muestra como arquetipo formal para las variantes métricas en la versificación. También cabe decir que el primer autor chino que trata del triángulo polar no es Yang Hui sino Jia Xian (ca. 1010–1070), estricto contemporáneo del primer autor que difundió el símbolo del yin y del yang, el filósofo y cosmólogo Zhou Dunyi (1017–1073).

Hoy en día muy pocos son consciente de que ambas figuras son representaciones del Polo. Es mi conjetura que todas las relaciones matemáticas que pueden derivarse del triángulo polar también pueden encontrarse en el Taijitu, o al menos generarse a partir de él, aunque ciertamente bajo un aspecto muy diferente, y con un cierto giro que posiblemente implique a φ. Ambas serían la expresión dual de una misma unidad. Queda para los matemáticos ver qué hay de cierto en esto.

Entre contar y medir, entre la geometría y la aritmética, tenemos las áreas básicas del álgebra y el cálculo; pero hay sobrada evidencia de que éstas últimas ramas se han desarrollado en una dirección particular más que en otras —más en descomponer que en recomponer, más en el análisis que en la síntesis, más en las sumas que en los productos. Así que el estudio de las relaciones entre las dos expresiones del polo podría estar llena de interesantes sorpresas y resultados básicos pero no triviales, y plantea una orientación muy diferente para las matemáticas.

Se observa que el triángulo aritmético tiene diversas asociaciones con aspectos fundamentales del cálculo y la constante matemática e, mientras que el Taijitu y la constante φ carecen a este respecto de conexiones relevantes —de ahí el carácter totalmente marginal de la proporción continua en la ciencia moderna. Se ha dicho que ésta es una relación estática, a diferencia de la íntima relación con el cambio del número de Euler. Sin embargo el carácter extremadamente dinámico del símbolo del yin y el yang ya nos advierte de un cambio general de contexto.

Durante siglos el cálculo ha estado disolviendo la relación entre la geometría y el cambio en beneficio de la aritmética, de no tan puros números. Ahora podemos darle la vuelta a este reloj de arena, observando lo que ocurre en la ampolla superior, la inferior y en el cuello.

*

La disposición de la proporción continua entre el yin y el yang en un entorno puramente curvilíneo no solo no es estática sino que por el contrario no puede ser más dinámica y funcional, y, efectivamente, el Taijitu es la expresión más acabada de actividad y dinamismo con el número mínimo de elementos. El diagrama tiene además una intrínseca connotación orgánica y biológica, evocando de forma inevitable la división celular, que en realidad es asimétrica, y, al menos en el crecimiento vegetal, sigue a menudo una secuencia gobernada por esta razón. Es decir, el contexto en el que aquí emerge la razón continua es la verdadera antítesis de su recepción griega prolongada hasta hoy, y eso debería tener profundas consecuencias en nuestra percepción de dicha proporción.

Oleg Bodnar ha desarrollado un elegante modelo matemático de la filotaxis vegetal con funciones hiperbólicas áureas en tres dimensiones y con coeficientes recíprocos de expansión y contracción que puede verse en el gran libro panorámico que Alexey Stakhov dedica a la Matemática de la Armonía [2]. Es un ejemplo de simetría dinámica que puede conjugarse perfectamente con el gran diagrama de la polaridad, con independencia de la naturaleza de las fuerzas físicas subyacentes.

La presencia de patrones espirales basados en la proporción continua y sus series numéricas en los seres vivos no parece demasiado misteriosa. Ya sea en el caso de un nautilo o de zarcillos vegetales, la espiral logarítmica —el caso general- permite un crecimiento indefinido sin cambio de forma. Las hélices y espirales son un resultado inevitable de la dinámica del crecimiento, por la acreción constante de material sobre lo que ya está allí. En todo caso habría que preguntar por qué entre todas las posibles medidas de la espiral logarítmica surgen tan a menudo las que se acercan a este número en particular.

Y la respuesta sería que las aproximaciones discretas a la proporción continua tienen también unas propiedades óptimas desde varios puntos de vista —y el crecimiento celular depende en última instancia del proceso discreto de división celular, y a niveles de organización más elevados, de otros elementos discretos como las hojas. Puesto que la convergencia de la razón continua es la más lenta, y las plantas tienden a ocupar al máximo el espacio disponible, esta proporción les permite emitir el mayor número de hojas en un espacio dado.

Esta explicación parece, desde un punto de vista descriptivo, suficiente, y hace innecesario invocar la selección natural o mecanismos más profundos relacionados con la física. Sin embargo, además de la relación básica entre lo continuo y lo discreto, contiene implícito un vínculo de gran alcance entre formas generadas por un eje, como las piñas de un pino, y la termodinámica, en particular con el llamado “principio de la máxima producción de entropía”, que volveremos a encontrar más adelante.

Ni que decir tiene que no pensamos que esta proporción contenga “el secreto” para ningún canon universal de belleza, puesto que seguramente un canon tal ni siquiera existe. Sin embargo su presencia recurrente en los patrones de la naturaleza nos muestra aspectos muy variados de un principio espontáneo de organización, o autoorganización, detrás de lo que denominamos superficialmente “diseño”. Por otra parte la aparición de esta constante matemática, por sus mismas irreductibles propiedades, en un gran número de problemas de máximos y mínimos —de optimización- y de parámetros con puntos críticos permite vincularla natural y funcionalmente con el diseño humano y su búsqueda de las configuraciones más eficientes y elegantes.

La emergencia de la razón continua en el símbolo dinámico del polo —del principio mismo- augura un cambio sustantivo tanto en la contemplación de la naturaleza como en las construcciones artificiales de los seres humanos. Contemplación y construcción son actividades antagónicas. Una va de arriba abajo y la otra de abajo arriba, pero siempre se produce alguna suerte de equilibrio entre ambas. La contemplación permite liberarnos de los vínculos ya construidos, y la construcción se apresta a llenar el vacío resultante con otros nuevos.

Resulta un tanto extraño que la razón continua, a pesar de su frecuente presencia en la naturaleza, se encuentre tan poco conectada con las dos grandes constantes del cálculo, π y e —salvo por la ocurrencia de la “espiral logarítmica áurea”, que es sólo un caso particular de espiral equiangular. Sabemos que tanto π como e son números trascendentales, mientras que φ no lo es, aunque sí es el “número más irracional”, en el sentido de que es el de más lenta aproximación por números racionales o fracciones. φ también es el más simple fractal natural.

Hasta ahora, el vínculo más directo con las series trigonométricas ha sido a través del decágono y las identidades φ = 2cos 36° = 2cos (π/5). Tampoco hasta ahora se ha asociado demasiado con los números imaginarios, siendo i, por así decirlo, la tercera gran constante, que se conjuga con las dos citadas en la fórmula de Euler, de la que la llamada identidad de Euler (eiπ = -1) es un caso particular.

El número e, base de la función que es su propia derivada, aparece naturalmente en tasas de cambio, las subdivisiones ad infinitum de una unidad que tienden a un límite y en la mecánica ondulatoria en general. Los números imaginarios, por otro lado, tan comunes en la física moderna, aparecen por primera vez con las ecuaciones cúbicas y retornan cada vez que se asignan grados de libertad adicional al plano complejo.

En realidad los números complejos se comportan exactamente como vectores con dos dimensiones, en los que la parte real es el producto interno o escalar y la parte llamada imaginaria corresponde al producto cruz o vectorial; así que sólo cabe asociarlos a movimientos, posiciones y rotaciones en el espacio en dimensiones adicionales, no a las cantidades físicas propiamente dichas.

Esto se dice más fácil que se piensa, puesto que es aún más “complejo” determinar qué es una cantidad física o una variable matemática independientemente de cambio y movimiento. Tanto para interpretar geométricamente el significado de vectores y números complejos en física como para generalizarlos a cualquier dimensión, se puede usar una herramienta como el álgebra geométrica —ese “álgebra que fluye de la geometría”, al decir de Hestenes; pero aún así queda más para la geometría de lo que podemos pensar.

Muchos problemas se simplifican en el plano complejo, o al menos eso nos aseguran los matemáticos. Uno de ellos bajo el seudónimo Agno enviaba en el 2011 una entrada a un foro de matemáticas con el título “Razón Áurea Imaginaria”, que muestra una conexión directa con π y e : Φi = e ± πi/3 [3]. Otro autor anónimo encontró esta misma identidad en 2016, junto con similares derivaciones, buscando propiedades fundamentales de una operación conocida como “adición recíproca”, de interés en cálculos de resistencias en paralelo y en circuitos. Siendo la refracción un tipo de impedancia, también puede tener pertinencia en la óptica. Nuestro motivo de partida puede relacionarse desde el comienzo también con las series geométricas y funciones hipergeométricas ordinarias y con argumento complejo asociadas a fracciones continuas, formas modulares y series de Fibonacci, e incluso con la geometría no conmutativa [4]. La razón áurea imaginaria, en cualquier caso, refleja como en un espejo muchas de las cualidades de su modelo real.

El Taijitu es un círculo, una onda y un vórtice, todo en uno. El genio sintético de la naturaleza es bien diferente del de el hombre, y no necesita ninguna unificación porque le basta con no separar. A la naturaleza, como decía Fresnel, no le importan las dificultades analíticas.

El diagrama del Taijitu viene a ser una sección plana de una doble espiral expandiéndose y contrayéndose en tres dimensiones, movimiento éste que parece darle una “dimensión adicional” en el tiempo. Resulta siempre un auténtico desafío la visualización y recreación animada de este proceso, a la vez espiral y helicoidal, dentro de un cilindro vertical, que no es sino la representación completa de la propagación indefinida de un movimiento ondulatorio, el “vórtice esférico universal” en el que se detiene René Guenon en tres muy breves capítulos de su obra “El simbolismo de la Cruz” [5]. La cruz de la que habla Guenon es ciertamente un sistema de coordenadas en el sentido más metafísico de la palabra; pero el lado más físico del tema no es en absoluto despreciable.

La propagación de una onda en el espacio es un proceso tan simple como difícil de captar en su integridad; no hay más que pensar en el principio de Huygens, el modo universal de propagación, que subyace también a toda la mecánica cuántica, y que entraña una deformación continua en un medio homogéneo.

En ese mismo año de 1931 en que Guenon escribía sobre la evolución del vórtice esférico universal, se publicaba el primer trabajo sobre lo que hoy conocemos como la fibración de Hopf, el mapa de las conexiones entre una esfera tridimensional y otra en dos dimensiones. Esta fibración, tan enormemente compleja, se encuentra incluso en un simple oscilador armónico bidimensional. También en ese año, el físico Paul Dirac conjeturaba la existencia de ese unicornio de la física moderna conocido como monopolo magnético, que trasladaba el mismo tipo de evolución al contexto de la electrodinámica cuántica.

Un acercamiento completamente fenomenológico a la clasificación de los diferentes vórtices nos la da el maravilloso trabajo de Peter Alexander Venis [6]. No hay aquí nada de matemática, ni avanzada ni elemental, pero se propone una secuencia de transformaciones de 5 + 5 + 2, o bien 7 clases de vórtices con mucho tipos e incontables variantes que se despliegan desde lo completamente indiferenciado para volver de nuevo a lo indiferenciado —o a la infinidad de la que habla Venis. Las transiciones desde el punto sin extensión a las formas aparentes de la naturaleza sin el concurso de los vórtices son cuando menos arbitrarias, de ahí su importancia y universalidad.

Peter Alexander Venis

Venis no toca ni la matemática ni la física de un tema complejo como los vórtices, y por supuesto no aplica a ellos la proporción continua; por el contrario nos brinda el privilegio de una visión virgen de estos ricos procesos, y en la que, como sin quererlo, parecen darse cita la visión de un naturalista presocrático y la capacidad de síntesis de un sistematizador chino.

Aun si la secuencia de Venis admite variaciones, nos ofrece en todo caso un modelo morfológico de evolución que va más allá del alcance de las ciencias y disciplinas ordinarias. El autor engloba bajo el término “vórtices” procesos de flujo que pueden tener rotación o no, pero hay un buen motivo para hacerlo, puesto que esto es necesario para abarcar condiciones clave de equilibrio. También aplica la teoría del yin y el yang de una forma a la vez lógica e intuitiva, que probablemente admite una traducción elemental a los principios cualitativos de otras tradiciones.


Peter Alexander Venis

El estudio de esta secuencia de transformaciones, en la que se unen estrechamente cuestiones de acústica y de imagen, debería ser de interés inmediato para profundizar en los criterios de la morfología y el diseño incluso sin necesidad de adentrarse en consideraciones ulteriores. Pero hay mucho más que eso, y luego volveremos sobre ello.

Una descripción independiente de métricas sería, justamente, el contrapunto perfecto para un sujeto tan perjudicado por la discrecionalidad y la arbitrariedad en los criterios de medida como el estudio de la proporcionalidad. Naturalmente, también la matemática dispone de herramientas esencialmente libres de métrica, como las formas diferenciales exteriores, que permiten estudiar los campos de la física con la máxima elegancia. Entonces, tal vez, las métricas de las que se ocupa la física podrían ejercer de término medio entre ambos extremos.

Así pues, en esta búsqueda por definir mejor el entorno de aparición de la razón continua en el mundo de las apariencias, podemos hablar de tres tipos de espacios básicos: el espacio amétrico, los espacios métricos, y los espacios paramétricos.

Por espacio amétrico entendemos los espacios que son libres de métrica y la acción de medir, desde la secuencia puramente morfológica de vórtices ya comentada a la geometría proyectiva y la afín o las partes independientes de métrica de la topología o las formas diferenciales. El espacio amétrico, el espacio sin medida, es el único y verdadero espacio; si a veces hablamos de espacios amétricos es sólo por las diversas conexiones posibles con los espacios métricos.

Por espacios métricos, entendemos sobre todo a los de los de las teorías fundamentales en física, no sólo las actualmente en circulación sino también otras relacionadas, con un énfasis especial en el espacio métrico euclídeo en tres dimensiones de nuestra experiencia ordinaria. Incluyen constantes físicas y variables, pero aquí nos interesan particularmente las teorías que no dependen de constantes dimensionales y pueden expresarse en proporciones o cantidades homogéneas.

Por espacios paramétricos o espacios de parámetros entendemos los espacios de correlaciones, datos, y valores ajustables que sirven para definir modelos matemáticos, con cualquier número de dimensiones. Podemos llamarlo también el sector algorítmico y estadístico.

No nos vamos a ocupar aquí de las incontables relaciones que puede haber entre estos tres tipos de espacios. Baste decir que para salir de este laberinto de la complejidad en el que ya se encuentran inmersas todas las ciencias el único hilo de Ariadna posible, si es que hay alguno, tiene que describir un camino retrógrado: de los números a los fenómenos, con el énfasis puesto en estos últimos y no al contrario. Y nos referimos a fenómenos que no están ya previamente acotados por el espacio de medida.

Mucho se ha hablado de la distinción entre las “dos culturas”, las ciencias y las humanidades, pero se debe observar que, antes de intentar cruzar esa distancia hoy por hoy insalvable, habría que empezar por salvar la brecha entre ciencias naturales, descriptivas, y una ciencia física que, al justificarse por sus predicciones, se confunde cada vez más con el poder de abstracción de la matemática mientras se aísla del resto de la naturaleza, a la que querría servir de fundamento. Revertir esta fatal tendencia es de la mayor importancia para el ser humano, y podemos dar por bien empleados todos los esfuerzos encaminados en esa dirección.

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