Two kinds of reciprocity

The Taijitu, the emblem of the action of the Pole with respect to the world, and of the reciprocal action with respect to the Pole, inevitably reminds us of the most universal figure in physics; we are naturally referring to the ellipse —or rather, it should be said, to the idea of the generation of an ellipse with its two foci, since here there is no eccentricity. The ellipse appears in the orbits of the planets no less than in the atomic orbits of the electrons, and in the study of the refractive properties of light it gives rise to a whole field of analysis, ellipsometry. Kepler’s old problem has scale invariance, and plays a determining role in all our knowledge of physics from the Planck constant to the furthest galaxies.

In physics and mechanics, the principle of reciprocity par excellence is Newton’s third principle of action and reaction, which is at the base of all our ideas about energy conservation and allows us to “interrogate” forces when we are obliged to assume the constancy or proportionality of other quantities. The third principle does not speak of two different forces but of two different sides of the same force.

Now, the story of the third principle is curious, because we are forced to think that Newton established it as the keystone of his system to tie up the loose ends of celestial mechanics —particularly in Kepler’s problem- rather than for down-to-earth mechanics based on direct contact between bodies. The third principle allows us to define a closed system, and closed systems have been the given for all fundamental physics since then —however, it is precisely in celestial orbits, such as that of the Earth around the Sun, that this principle can be least verified, since the central body is not in the center, but in one of the foci. The force designated by the vectors would have to act on the void, where there is no matter.

Since the very first moment it was argued in the continent that Newton’s theory was more an exercise in geometry than in physics, although the truth is that, if physics and vectors were good for something, the first thing that failed was geometry. That is, if we assume that forces act from and on centers of mass, instead of on mere mathematical points. But, despite what intuition tells us —that an asymmetric ellipse can only result from a variable force, or from a simultaneous generation from the two foci-, the desire to expand the domain of calculus prevailed over anything else.

In fact the issue has remained so ambiguous that attempts have always been made to rationalize it with different arguments, either the system’s barycenter, or the variation in orbital velocity, or the initial conditions of the system. But none of them separately, nor the combination of the three, allows to solve the issue satisfactorily.

Since no one wants to think that the vectors are subjected to quantitative easing, and they lengthen and shorten at convenience, or that the planet accelerates and brakes on its own as a self-propelled rocket, in order to keep the orbit closed, physicists finally came to accept the combination in one quantity of the variable orbital speed and innate motion. But what happens is that if the centripetal force counteracts the orbital velocity, and this orbital velocity is variable despite the fact that the innate motion is invariable, the orbital velocity is in fact already a result of the interaction between the centripetal and the innate force, and then the centripetal force is also acting on itself. Therefore, the other options being ruled out, what we have is a case of feedback or self-interaction of the whole system.

So it must be said that the claim that Newton’s theory explains the shape of the ellipses is at best a pedagogical resource. However, this swift pedagogy has made us forget that our so called laws do not determine or “predict” the phenomena we observe, but try to fit them at most. Understanding the difference would help us to find our place in the overall picture.

The reciprocity of Newton’s third principle is simply a change of sign: the centrifugal force must be matched by an opposing force of equal magnitude. But the most elementary reciprocity of physics and calculus is that of the inverse product, as already expressed by the formula of velocity, (v = d/t), which is the distance divided by time. In this very basic sense, those who have pointed out that velocity is the primary fact and phenomenon of physics, from which time and space are derived, are absolutely right.

The first attempt to derive the laws of dynamics from the primary fact of velocity is due to Gauss, around 1835, when he proposed a law of electric force based not only on distance but also on relative velocities. The argument was that laws such as Newton’s or Coulomb’s were laws of statics rather than of dynamics. His disciple Weber refined the formula between 1846 and 1848 by including relative accelerations and a definition of potential —a retarded potential, in fact.

Weber’s electrodynamic force is the first case of a complete dynamic formula in which all quantities are strictly homogeneous or proportional [8]. Such formulas seemed to be exclusive to Archimedes’ statics, or Hooke’s elasticity law in its original form. In fact, although it is an specific formula for electric charges and not a field equation, it allows to derive Maxwell’s equations and the electromagnetic fields as a particular case, simply integrating over volume.

The logic of Weber’s law could be applied equally to gravity, and in fact Gerber used it to calculate the precession of Mercury’s orbit in 1898, seventeen years before the calculations of General Relativity. As is well-known, General Relativity aspired to include the so-called “Mach principle”, although in the end it did not succeed; but Weber’s law was entirely compatible with that principle in addition to explicitly using homogeneous quantities, well before Mach wrote about these issues.

It has been said that Gerber’s argument and equation was “merely empirical”, but in any other era not having to create ad hoc postulates would have been seen as the best virtue. In any case, if the new proportional law was used to calculate a tiny secular divergence, and not for the generic ellipse, it was for the simple reason that in a single orbital cycle there was nothing to calculate for either the old or the new theory.

Weber’s purely relational formula cannot “explain” the ellipse either, since force and potential are simply derived from motion —but at least there is nothing unphysical in the situation, and the fulfillment of the third principle is guaranteed while permitting a deeper meaning.

Ironically, as this new law changed the prevailing idea of central forces, understood with a string attached, Helmholtz and Maxwell blamed Weber’s law for not complying with energy conservation, although finally in 1871 Weber showed that it did so on the condition that the motion was cyclical —which in this issue was already the basic requirement for Newtonian or Lagrangian mechanics too. Conservation is a global property, not a local one, but the same was true for the orbits described in the Principia, not less than those of Lagrange. Strictly speaking there is no local conservation of forces that can make physical sense. Newton himself used the analogy of a slingshot, following Descartes’ example, when he spoke of the centrifugal motion, but nowhere in his definitions is there any talk that the central forces should be understood as if connected by a string. However, posterity took the simile at face value.

Why claim that there is in any case feedback, self-interaction? Because all gauge fields, characterized by the invariance of the Lagrangian under transformations, are equivalent to a non-trivial feedback between force and potential —the eternal “information problem”, namely how does the Moon know where the Sun is and how does it “know” its mass to behave as it does.

Indeed, if the Lagrangian of a system —the difference between kinetic and potential energy – has a certain value and is not equal to zero, this is equivalent to say that action-reaction is never immediately fulfilled. However, we use to assume that Newton’s third principle is immediate and takes place automatically and simultaneously, without mediation of any time sequence, and the same simultaneity is assumed in General Relativity. The presence of a retarded potential indicates at least the existence of a sequence or mechanism, even if we can not say anything else about it.

This shows us that additive and multiplicative reciprocity are notoriously different; and the one shown by the continuous proportion in the diagram of the Pole includes the second kind. The first is purely external and the second is internal to the order considered.

All the misunderstandings about what is mechanics come from here. And the essential difference between a mechanical system in the trivial sense and an ordered or self-organized system lies precisely at this point.

At the time it was believed that Hertz’s experiments confirmed Maxwell’s equations and disproved Weber’s, but that is another misunderstanding because if Weber’s law —which was the first to introduce the factor of the speed of light- did not predict electromagnetic waves, it did not exclude them either. It simply ignored them. On the other hand, some perceptive observers have noted that the only thing Hertz demonstrated was the reality of the action at a distance, not of waves, but that is another story.

As a counterpoint, it is worth remembering another fact that shows, among other things, that Weber had not fallen behind his time. Between the 1850s and 1870s he developed a stable model of the atom with elliptical orbits —many decades before Bohr proposed his model of the circular atom, without the need to postulate special forces for the nucleus.

Weber’s relational dynamics shows another aspect that may seem exotic in the light of the present theories: according to its equations, when two positive charges approach a critical distance, they produce a net attractive force, rather than a repulsive one. But is not the very idea of an elementary charge exotic in the first place, or should we just say a mere convention? In any case, this fits very well with the Taijitu diagram, in which a polarized force can potentially become its opposite. Without this spontaneous reversal, hardly we could speak of truly alive forces and potentials.

Dos tipos de reciprocidad

El Taijitu, emblema de la acción del Polo con respecto al mundo, y de la acción recíproca con respecto al Polo, recuerda inevitablemente, además, a la figura más universal de la física; nos estamos refiriendo naturalmente a la elipse —o más bien, habría que decir, a la idea de generación de una elipse, con su barrido de áreas y dos focos, puesto que aquí no existe ninguna excentricidad. La elipse aparece en las órbitas de los planetas no menos que en las órbitas atómicas de los electrones, y en el estudio de las propiedades de refracción de la luz da lugar a todo un campo de análisis, la elipsometría. El viejo problema de Kepler tiene invariancia de escala, y juega un papel determinante en todo nuestro conocimiento de la física desde la constante de Planck a las más lejanas galaxias.

En física, el principio de reciprocidad por excelencia es el tercer principio de la mecánica de Newton de acción y reacción, que está en el origen de todas nuestras ideas sobre la conservación de la energía y nos permite, por así decir, “interrogar” a las fuerzas cuando estamos obligados a suponer la constancia o proporcionalidad de otras cantidades. El tercer principio no habla de dos fuerzas diferentes sino de dos aspectos diferentes de la misma fuerza.

Ahora bien, la historia del tercer principio es curiosa, porque es casi obligado pensar que Newton lo estableció como clave de arco de su sistema para atar los cabos sueltos de la mecánica celeste —en particular en el problema de Kepler- antes que para la mecánica terrestre basada en el contacto directo entre los cuerpos. El tercer principio permite definir un sistema cerrado, y a los sistemas cerrados se ha referido toda la física fundamental desde entonces —sin embargo, es justamente en las órbitas celestes, como la de la Tierra entorno al Sol, donde menos puede verificarse este principio, puesto que el cuerpo central no está en el centro, sino en uno sólo de los focos. La fuerza designada por los vectores tendría que actuar sobre espacios vacíos.

Desde el primer momento se argumentó en el continente que la teoría de Newton era más un ejercicio de geometría que de física, aunque lo cierto es que, si la física y los vectores valían para algo, lo primero que fallaba era la geometría. Es decir, si suponemos que las fuerzas parten de y actúan sobre centros de masas, en lugar de meros puntos matemáticos. Pero, a pesar de lo que nos dice la intuición —que una elipse asimétrica sólo puede proceder de una fuerza variable, o bien de una generación simultánea desde los dos focos-, el deseo de expandir el dominio del cálculo se impuso sobre las dudas.

De hecho el tema ha permanecido tan ambiguo que siempre se ha intentado racionalizar con argumentos diferentes, ya sea el baricentro del sistema, ya sea la variación de la velocidad orbital, ya sea las condiciones iniciales del sistema. Pero ninguno de ellos por separado, ni la combinación de los tres, permite resolver el tema satisfactoriamente.

Puesto que nadie quiere pensar que los vectores están sometidos a un quantitative easing, y se alargan y acortan a conveniencia, o que el planeta acelera y se frena oportunamente por su propia cuenta como una nave autopropulsada, con el fin de mantener cerrada la órbita, se ha terminado finalmente por aceptar la combinación en una sola de la velocidad orbital variable y el movimiento innato. Pero ocurre que si la fuerza centrípeta contrarresta la velocidad orbital, y esta velocidad orbital es variable a pesar de que el movimiento innato es invariable, la velocidad orbital es ya de hecho un resultado de la interacción entre la fuerza centrípeta y la innata, con lo que entonces la fuerza centrípeta también está actuando sobre sí misma. Por lo tanto, y descontadas las otras opciones, se trata de un caso de feedback o autointeracción del sistema entero en su conjunto.

Así pues, habrá que decir que la afirmación de que la teoría de Newton explica la forma de las elipses, es, como mucho, un recurso pedagógico. Sin embargo esta pedagogía nos ha hecho olvidar que no son nuestra leyes las que determinan o “predicen” los fenómenos que observamos, sino que a lo sumo intentan encajar en ellos. Comprender la diferencia nos ayudaría a encontrar nuestro lugar en el panorama general.

La reciprocidad del tercer principio de Newton es simplemente inversa, por cambio de signo: a la fuerza centrífuga ha de corresponderle una fuerza opuesta de igual magnitud. Pero la reciprocidad más elemental de la física y el cálculo es la del producto inverso, como ya lo expresa la fórmula de la velocidad, (v = d/t), que es la distancia partida por el tiempo. En este sentido tan básico, tienen toda la razón los que han apuntado que la velocidad es el hecho y fenómeno primario de la física, del que el tiempo y el espacio se derivan.

El primer intento de derivar las leyes de dinámica del hecho primario de la velocidad se debe a Gauss, hacia 1835, cuando propuso una ley de la fuerza eléctrica basada no sólo en la distancia sino también en las velocidades relativas. El argumento era que leyes como la de Newton o la de Coulomb eran leyes de estática, más que de dinámica. Su discípulo Weber refinó la fórmula entre 1846 y 1848 incluyendo las aceleraciones relativas y una definición del potencial —un potencial retardado.

La fuerza electrodinámica de Weber es el primer caso de una fórmula dinámica completa en la que todas las cantidades son estrictamente proporcionales y homogéneas [8]. Fórmulas así parecían exclusivas de la estática de Arquímedes, o de leyes como la de la elasticidad de Hooke en su forma original. De hecho, aunque se trata de una fórmula expresa para cargas eléctricas y no una ecuación de campos, permite derivar las ecuaciones de Maxwell como un caso particular, e incluso pueden obtenerse los campos electromagnéticos integrando sobre el volumen.

La lógica de la ley de Weber podía aplicarse igualmente a la gravedad, y de hecho Gerber la utilizó para calcular la precesión de la órbita de Mercurio en 1898, diecisiete años antes de los cálculos de la Relatividad General. Como es sabido, la teoría de la Relatividad General aspiraba a incluir el llamado “principio de Mach”, aunque finalmente no lo consiguió; pero la ley de Weber sí era enteramente compatible con tal principio además de usar explícitamente cantidades homogéneas, mucho antes de que Mach escribiera sobre el tema.

Se ha dicho que el argumento y la ecuación de Gerber era “meramente empírica”, pero en cualquier otra época el no tener que crear postulados ad hoc se habría visto como la mejor virtud. En todo caso, si la nueva ley proporcional se utilizó para calcular una divergencia secular ínfima, y no para la elipse genérica, fue por la sencilla razón de que en un solo ciclo orbital no había nada que calcular ni para la vieja ni para la nueva teoría.

La fórmula puramente relacional de Weber no puede “explicar” tampoco la elipse, puesto que la fuerza y el potencial se derivan sin más del movimiento —pero al menos no hay nada unphysical en la situación, se garantiza el cumplimiento del tercer principio mientras se da cabida a una significación más profunda.

Irónicamente, al modificar la idea que se tenía de las fuerzas centrales, lo primero que Helmholtz y Maxwell le reprocharon a la ley de Weber era que no cumplía con la conservación de la energía, aunque finalmente en 1871 Weber demostrara que sí lo hacía con la condición de que el movimiento fuera cíclico —lo que ya era el requisito básico para la mecánica newtoniana o lagrangiana. La conservación es global, no local, pero lo mismo valía para las órbitas descritas en los Principia, no menos que las de Lagrange. No hay conservación local de fuerzas que puedan tener significado físico. El mismo Newton habló de una honda, siguiendo el ejemplo de Descartes, al hablar del movimiento centrífugo, pero en ningún lugar de sus definiciones se habla de que las fuerzas centrales deban entenderse como unidas por una cuerda. Sin embargo la posteridad tomó el símil al pie de la letra.

¿Por qué afirmar que hay en cualquier caso feedback, autointeracción? Porque todos los campos gauge, caracterizados por la invariancia del lagrangiano bajo transformaciones, equivalen a un feedback no trivial entre la fuerza y el potencial, lo que a su vez se confunde con el eterno “problema de la información”, a saber, cómo sabe la Luna dónde está el Sol y cómo “conoce” su masa para comportarse como se comporta.

Efectivamente, si el lagrangiano de un sistema —la diferencia entre la energía cinética y potencial- tiene un determinado valor y no es igual a cero, ello equivale a decir que la acción-reacción nunca se cumple de manera inmediata. Sin embargo el tercer principio de Newton se supone que se cumple de manera automática y simultánea, sin mediación de una secuencia de tiempo, y la misma simultaneidad se asume en la Relatividad General. La presencia de un potencial retardado, señala al menos la existencia de una secuencia o mecanismo, incluso si es incapaz de decirnos nada sobre él.

Lo cual nos demuestra que la reciprocidad aditiva y la multiplicativa son notoriamente diferentes; y la que nos muestra la proporción continua en el diagrama del Polo incluye la segunda clase. La primera es puramente externa y la segunda es interna al orden que se considera.

Todos los malentendidos del mecanicismo provienen de aquí. Y la diferencia esencial entre un sistema mecánico en el sentido trivial y un sistema ordenado u autoorganizado está justamente en este punto.

En su momento se creyó que los experimentos de Hertz confirmaban las ecuaciones de Maxwell y desmentían las de Weber, pero eso es otro malentendido porque si la ley de Weber —que fue el primero en introducir el factor relativo a la velocidad de la luz- no predecía ondas electromagnéticas, tampoco las excluía. Sencillamente las ignoraba. Por otra parte, tampoco han faltado los observadores perspicaces que han notado que en realidad lo único que demostró Hertz fue lo incuestionable de la acción a distancia, pero eso es ya otra historia.

Como contrapunto, vale la pena recordar otro hecho que demuestra, entre otras cosas, que Weber no se había quedado rezagado con respecto a su tiempo. Entre las décadas de 1850 y 1870 desarrolló un modelo estable del átomo con órbitas elípticas —muchas décadas antes de que Bohr propusiera su modelo de átomo circular, sin necesidad de postular fuerzas especiales para el núcleo.

La dinámica relacional de Weber muestra otro aspecto que a la luz de las presentes teorías puede parecer exótico: de acuerdo con sus ecuaciones, cuando dos cargas positivas se aproximan a una distancia crítica, producen una fuerza neta atractiva, en lugar de repulsiva. ¿Pero acaso no es la idea de una carga elemental exótica, o habrá que decir tan sólo puramente convencional? En cualquier caso, esto se aviene muy bien con el diagrama del Taijitu, en el que en puntos extremos se produce la inversión de las fuerzas polarizadas en su opuesto. Sin este rasgo, difícilmente podría hablarse de fuerzas y potenciales espontáneos, o si se quiere, “vivos”.

Physics and the continuous proportion

We already see that there are purely mathematical reasons for the continuous proportion to appear in the designs of nature independently of causality, be it physical, chemical or biological: in fact the convenience of logarithmic growth is independent even of the form itself, as is the elementary fact of the discrete and asymmetric division of cells.

In this light, it would be an emergent property, just a parallel plane to physical causation and becoming. On the other hand, the idea of parallel planes with a merely circumstantial connection with physical reality looks odd, and in any case very distant from what the diagram of the Pole express so well —that no form or nothing apparent is free from dynamics.

The fact is that the connection between physics and the continuous proportion is very dim, to say the least. However we have important occurrences of this ratio even in the Solar System, where it is almost impossible to avoid celestial mechanics. A better understanding of the presence of the continuous proportion in nature should not ignore the framework defined by fundamental physical theories, nor what these can leave out.

We have three possible approaches with increasing degrees of risk and depth:

The continuous proportion in nature can be studied independently of the underlying physics as a purely mathematical question; this would be the most prudent, but somewhat limited position. The aforementioned A. Stakhov has developed an algorithmic theory of measurement based on this ratio that can be used to analyze in turn other metrological theories of cycles, continuous fractions and fractals as for example the so called Global Scaling.

This proportion can be studied according with views compatible with known mainstream physics; for example, as Richard Merrick has done, in a neopythagorean rereading of the collective harmonic aspects of wave mechanics, such as resonances, and in which phi would be a critical damping factor [7]. These ideas are totally accessible to the experiment, either in acoustics or in optics, so that they can be verified or falsified.

Merrick’s idea of harmonic interference is within everyone’s reach and understanding and it is not without depth. It can be naturally complemented with the holographic concept proposed by David Bohm and his distinction between the implicate and explicate order. Although Bohm’s interpretation is not standard, it is compatible with experimental data. The harmonic interference theory can also be combined with mathematical theories of cycles and scales such as those mentioned.

Or, finally, one can consider other more classical theories that differ from the mainstream but which may provide deeper insights into the subject. Within this category, there are various degrees of disagreement with the standard theories: from just a wider understanding of thermodynamics, to in-depth revisions of classical mechanics, quantum mechanics and calculus. We could say that this third option is not that speculative, but rather divergent in the spirit and the interpretation.

Here we will focus more on the third level, which may also seem the most problematic. One could ask what is the need to question the best established physical theories in order to find a better ground for the occurrence of a constant that maybe does not require them. Furthermore, the first two levels already offer plenty of room for speculation. But this would be a very superficial way of looking at it.

We cannot delve into the presence of the continuous proportion in a symbol of perfect reciprocity ignoring the question of whether our present theories are the best exponent of continuity, homogeneity or reciprocity —and in fact they are far from it.

La física y la proporción continua

Ya vemos que existen razones puramente matemáticas para que la razón continua aparezca en los diseños de la naturaleza con independencia de la causalidad, ya sea física, química o biológica: de hecho la conveniencia del crecimiento logarítmico es independiente incluso de la forma propiamente dicha, como lo es el hecho elemental de la división discreta y asimétrica de las células.

Visto así, se trataría de una propiedad emergente, de un plano paralelo del acontecer. Por otra parte la idea de planos paralelos con una conexión meramente circunstancial con la realidad física resulta un tanto extraña, y en cualquier caso muy distante de lo que tan bien expresa el diagrama del polo —que ninguna forma ni nada aparente se sustrae a la dinámica.

El hecho es que la conexión entre la física y la proporción continua es muy tenue, por decir algo. Sin embargo tenemos importantes ocurrencias de esta razón incluso en el Sistema Solar, donde es casi imposible ignorar la mecánica celeste. Una mejor comprensión de la presencia de la proporción continua en la naturaleza no debería ignorar el marco que definen las teorías físicas fundamentales, ni lo que estas pueden dejar fuera.

Tenemos tres acercamientos posibles con grados crecientes de riesgo y profundidad:

Se puede estudiar la razón continua en la naturaleza con total independencia de la física subyacente, como una cuestión matemática; esta sería la postura más prudente, pero así hay bien poco que añadir a lo ya conocido —salvo, tal vez, por diversas implicaciones en teoría de la probabilidad y las distribuciones estadísticas. El citado A. Stakhov ha desarrollado una teoría algorítmica de la medida basada en dicha razón que puede usarse para analizar a su vez otras teorías metrológicas de ciclos, fracciones continuas y fractales como por ejemplo el llamado Escalamiento Global.

Se puede estudiar esta razón conforme a alguna de las visiones compatibles con la física conocida o estándar; por ejemplo, como lo ha hecho Richard Merrick, que hace una relectura neopitagórica de los aspectos colectivos armónicos de la mecánica ondulatoria, como las resonancias, y en las que phi sería un factor crítico de amortiguación [7]. Estas ideas son totalmente accesibles al experimento, ya sea en acústica o en óptica, de manera que pueden ser verificados o falsados.

La idea de interferencia armónica de Merrick está al alcance de cualquiera y no carece de profundidad. Se complementa naturalmente con la concepción holográfica promovida por David Bohm y su distinción entre el orden explicado y el orden implicado. Aunque la interpretación de Bohm no es estándar, sí es compatible con los datos experimentales. La teoría de la interferencia armónica también puede combinarse con otras teorías de ciclos y escalas matemáticas como las citadas.

O, finalmente, se pueden considerar teorías clásicas que difieren en alguna medida de las actuales teorías estándar, pero que pueden aportar perspectivas más profundas sobre el tema. Dentro de esta categoría, hay varios grados de cuestionamiento de las principales teorías vigentes: desde una lectura ampliada de la termodinámica, hasta revisiones en profundidad de la mecánica clásica, la mecánica cuántica y el cálculo. Esta tercera opción no es muy especulativa, sino más bien divergente en el espíritu y la interpretación.

Aquí nos centraremos más en el tercer nivel, que puede parecer también el más problemático. Uno puede preguntarse qué necesidad hay de revisar la física mejor establecida para buscarle razones más profundas a una mera constante matemática que no las requiere. Además, los dos primeros niveles ya ofrecen espacio de sobra para la especulación. Pero esto sería una forma muy superficial de plantearlo.

No podemos profundizar en la presencia de la razón continua en un símbolo de la reciprocidad perfecta olvidándonos de la cuestión de si nuestras presentes teorías son el mejor exponente de la continuidad, la homogeneidad o la reciprocidad —y en verdad están muy lejos de serlo.

POLE OF INSPIRATION – The spark and the thread

Those who like simple problems can try to demonstrate this relationship before moving on. It’s insultingly easy:

φ = 1/φ +1 = φ-1+1 = 1/φ-1

We owe this fortunate discovery to John Arioni. The elementary demonstration, along with other unexpected relationships, is on the site Cut the knot [1]. The number φ is, naturally, the golden ratio (1+√ 5)/2, in decimal figures 1.6180339887…, and φ-1 is the reciprocal, 0.6180339887… . And since its infinite decimal places can be calculated by means of the simplest continuous fraction, here we will also call it the continuous ratio or continuous proportion, because of its unique role as mediator between discrete and continuous aspects of nature and mathematics.

This looks like the typical casual association of recreational math pages. One can get φ in many different ways with circles, but to my knowledge this is by far the most elementary of all, being the radius the unit of reference. In other words, this relation seems too simple and direct not to contain something important. And yet it has only recently been discovered, almost by chance.

John Arioni

Since Euclid and probably much earlier, the entire history of findings on this proportion has been derived from the division of a segment “in the extreme and mean ratio”, and has developed with the construction of squares and rectangles. The most immediate cases involving the circle come from the construction of the pentagon and the pentagram, no doubt known to the Pythagoreans; but one does not need to know anything about mathematics to realize that the relationship contained in this symbol is of a much more fundamental order —just as, from the quantitative point of view, the 2 is closer to 1 than 5, or from the qualitative one, the dyad is closer to the monad than the pentad.

If the circle and its central point are the most general and comprehensive symbol of the monad or unit, we have here the most immediate and revealing proportion of reciprocity, or dynamic symmetry, presented after the division into two parts. The Taijitu has a double function, as a symbol of the supreme Pole, beyond duality, and as a representation of the first great polarity or duality. It is, as it were, halfway between both, and both are linked by a ternary relationship —precisely the continuous proportion.

A relation is the perception of a dual connection, while a proportion implies a third order relationship, a “perception of perception”. Since at least the times of the Kepler’s triangle, we have known that the golden mean articulates and conjugates in itself the three most fundamental means of mathematics: the arithmetic mean, the geometric mean, and the so-called harmonic mean between both.

We could ask ourselves what would have happened if Pythagoras had known about this correlation, which would certainly have exalted Kepler’s imagination as well. It will be said that, like any other counterfactual, there is no point about it. But the question is not as much about the past that might have been as it is about the possible future. Pythagoras could hardly have been as surprised as we are, since he knew nothing about the decimal values of φ or π . Today we know that they are two ratios running to an infinite number of decimal places, and yet they are linked exactly by the most elementary triangular relationship.

Mathematical truth is beyond time, but not its revelation and construction. This allows us to see certain things with the insight of a Geohistory, as it were, in four dimensions. There has been speculation about what would have happened if the Greeks had known and made use of the zero, and whether they might have developed modern calculus. This is very doubtful, since they would have still needed to make a series of great leaps far from their conception of the world, such as the numbering system, the zero and its positional use, the idea of derivative, and so on. The double spirals were a common motif in archaic Greece, and the arithmetical speculations of the Pythagoreans, very similar in nature to those developed by the Chinese over time; but for whatever reason the Greeks did not intertwine the two spirals into one, and, in China itself, a diagram like the one we know today did not came into existence until the end of the Ming dynasty and only after a lengthy evolution.

Which is just another example of how hard is to see the obvious. It’s not so much the thing itself, but the context in which it emerges and in which it fits. Depending on how one looks at it, this can be encouraging or discouraging. In knowledge there is always a high margin to simplify, but as in so many other things, that margin depends to a large extent on knowing how to make it happen.

The Taijitu, the symbol of the supreme Pole, is a circle, a wave and a vortex all in one. Of course, the vortex is reduced to its minimum expression in the form of a double spiral. Characteristically, the Greeks separated their double spirals, and eventually turn them into squares, in the motifs known today as grecas. It is just another expression of their taste for statics, a bent that set the general framework for the reception of the golden mean in mathematics and art, and which has come down to us through the Renaissance.

The series of numbers that approximate infinitely the continuous proportion, known to us as Fibonacci numbers, appeared already long before in the numerical triangles consecrated in India to Mount Meru, “the mountain that surrounds the world”, which is just another designation of the Pole. As it is well known, from this figure, called the Pascal’s triangle in the West, a huge number of combinatory properties, scales and sequences of musical notes are derived.

The polar triangle, known in other cultures as Khayyam’s triangle or Yang Hui’s triangle, is one of those “extraordinarily well connected” mathematical objects: from it one can derive the binomial expansion, the binomial and normal statistical distributions, the sin(x)n+1/x transform of harmonic analysis, the matrix esponential and the exponential function, or the values of the two great gears of calculus, the constants π and e. It is almost incredible that the elemental connection with the Euler number has not been discovered until 2012 by Harlan J. Brothers. Instead of adding up all the figures in each row, one only needs to extract the ratio of ratios for their product; the difference between sums and products is a motif that will emerge several times throughout this article.

The polar triangle looks like an arithmetic and “static” representation, while the Taijitu is like a geometric snapshot of something purely dynamic. However, the rich implications for music of this triangle, partially explored by the work of Ervin Wilson, largely circumvent the separations created by adjectives such as “static” and “dynamic”. In any case, if the staircase of figures deployed in Mount Meru is an infinite progression, when we finally see the lines hidden in the circular diagram of the Pole we immediately know that it is something irreducible —the first offers us its arithmetical deployment and the second its geometric retraction.

The oldest known mention of the triangle, albeit a cryptical one, can be found in the Chandaḥśāstra of Pingala, where Mount Meru is shown as the formal archetype for metric variants in versification. It is also fair to say that the first Chinese author to deal with the polar triangle is not Yang Hui but Jia Xian (ca. 1010-1070), a strict contemporary of the philosopher and cosmologist Zhou Dunyi (1017-1073), the first author who publicized the Taijitu diagram.

Nowadays very few people are aware that both figures are representations of the Pole. It is my conjecture that all the mathematical relationships that can be derived from the polar triangle can also be found in Taijitu, or at least generated from it, although under a very different aspect, and with a certain twist that possibly involves φ. Both would be a dual expression of the same unity. Mathematicians will see what is the point of this.

Between counting and measuring, between arithmetic and geometry, we have the basic areas of algebra and calculus; but there is an overwhelming evidence that the latter branches have developed in one particular direction more than in others —more in decomposition than in composition, more in addition than in multiplication, more in analysis than synthesis. So the study of the relations between this two expressions of the Pole could be full of interesting surprises and basic but not trivial results, and it poses a different orientation for mathematics.

It can be seen that the arithmetic triangle has closed links with fundamental aspects of calculus and the mathematical constant e, while the Taijitu and the constant φ lack in this respect relevant connections —hence the totally marginal character of the continuous proportion in modern science. It has been said that the latter, unlike the intimate connection with change of Euler’s number, is a static relationship. However, its appearance in the extremely dynamic character of the yin-yang symbol already warns us of a general change of context.

For centuries calculus has been dissolving the relationship between geometry and change in favor of algebra and arithmetic, of not so pure numbers. Now we can turn this sandglass upside down observing what happens on the upper bulb, the lower bulb and the neck.


The appearance of the golden mean between the yin and yang in a purely curvilinear fashion not only is not static but on the contrary cannot be more dynamic and functional, and indeed the Taijitu is the most complete expression of activity and dynamism with the minimum number of elements. The diagram also has an intrinsic organic and biological connotation, inevitably evoking cell division, which in fact is an asymmetrical process, and, at least in plant growth, often follows a sequence governed by this ratio. In other words, the context in which the continuous ratio emerges here is the true antithesis of its Greek reception that has lasted until today, and this can have far-reaching implications on our perception of this proportion.

Oleg Bodnar has developed an elegant mathematical model of plant phyllotaxis with hyperbolic golden functions in three dimensions and with coefficients of reciprocal expansion and contraction that can be seen in the great panoramic book that Alexey Stakhov dedicates to the Mathematics of Harmony [2]. It is an example of dynamic symmetry that can be perfectly combined with the great diagram of polarity, regardless of the nature of the underlying physical forces.

The presence of spiral patterns based on the continuous proportion and their numerical series in living beings does not seem mysterious. Whether in the case of a nautilus or vegetable tendrils, the logarithmic spiral —the general case- allows indefinite growth with no change of shape. Spirals and helixes seem an inevitable result of the dynamics of growth, by the constant accretion of material on what is already there. At any rate, we should ask why among all the possible proportions of the logarithmic spiral those close to this constant arise so often.

And the answer would be that the discrete approaches to the continuous proportion also have optimal properties from several points of view —and cell growth ultimately depends on the discrete process of cell division, and at higher levels of organization, on other discrete elements such as tendrils or leaves. Since the convergence of the continuous ratio is the slowest, and plants tend to fill as much room as possible, this ratio allows them to emit the greatest number of leaves in the space available.

This explanation seems, from a descriptive point of view, sufficient, and makes it unnecessary to invoke natural selection or deeper physical mechanisms. However, in addition to the basic discrete-continuos relationship, it contains implicitly a powerful link between forms generated by an axis, such as the pine cones, and the so-called “principle of maximum entropy production” of thermodynamics, which we will find later again.

Needless to say, we do not think this proportion has “the secret” to any universal canon of beauty, since surely such a canon does not even exist. However, its recurrent presence in the patterns of nature shows us different aspects of an spontaneous principle of organization, or self-organization, behind what we superficially call “design”. On the other hand, the appearance of this mathematical constant, due to its very irreducible properties, in a great number of problems of optimization, maximums and minimums, and parameters with critical points allows us to connect it both naturally and functionally with human design and its search for the most efficient and elegant configurations.

The emergence of the continuous proportion in the dynamic symbol of the Pole —of the very principle- augurs a substantive change both in the contemplation of Nature and in the artificial constructions of human beings. Contemplation and construction are antagonistic activities. One goes top-down and the other bottom-up, but there is always some sort of balance between both. Contemplation allows us to free ourselves from the connections already built, and construction gets ready to fill the resulting void with new ones.

It is somewhat strange that the continuous proportion, despite its frequent presence in Nature, is so poorly connected with the two great constants of calculus, π and e —except for anecdotic incidences as the “logarithmic golden spiral”, which is only a particular case of an equiangular spiral. We know that both π and e are transcendental numbers, while φ is not, although it is indeed the “most irrational number”, in the sense that it is the one with the slowest approximation by rational numbers or fractions. φ is also the simplest natural fractal.

Until now, the most direct link with trigonometric series has been through the decagon and the identities φ = 2cos 36° = 2cos (π/5). It has not been associated so far with imaginary numbers, i being the other great constant of calculus, which is concurrent with the other two in Euler’s formula, of which the so-called Euler identity (eiπ = -1) is a particular case.

The number e, base of the function that is its own derivative, appears naturally in rates of change, the subdivisions ad infinitum of a unit that tend to a limit or in wave mechanics. The imaginary numbers, on the other hand, so common in modern physics, appeared for the first time with the cubic equations and pop up each time additional degrees of freedom are assigned to the complex plane.

Actually, complex numbers behave exactly like two-dimensional vectors, in which the real part is the inner or scalar product or and the so-called imaginary part corresponds to the cross or vector product; so imaginary numbers can only be associated with motions, rotations and positions in space in additional dimensions, not with the physical quantities themselves.

This is easier to say than to think of, since it is even more “complex” to determine what a physical quantity or a mathematical variable can be independently of change and motion. Both to geometrically interpret the meaning of vectors and complex numbers in physics and to generalize them to any dimension a tool like geometric algebra may be used —”the algebra flowing from geometry”, as Hestenes put it; but even then there is much more to geometry than we may think.

Many problems become more simple on the complex plane, or so the mathematicians say. One of them, under the pseudonym Agno sent in 2011 an entry to a math forum with the title “Imaginary Golden Mean”, which shows a direct connection with π and e : Φi = e ± πi/3 [3]. Another anonymous author found this same identity in 2016, along with similar derivations, looking for fundamental properties of an operation known as “reciprocal addition”, of interest in circuits and parallel resistances calculations. As refraction is a kind of impedance, it may also have its place in optics. The relation in the polar diagram may be associated right from the start with geometric series and hypergeometric functions associated with continuous fractions, modular forms and Fibonacci series, and even with noncommutative geometry [4]. The imaginary golden ratio, in any case, reflects as in a mirror many of the qualities of its real part.

The Taijitu is a circle, a wave and a vortex all in one. The synthetic genius of nature is quite different from that of man, and she does not ask for unifications because not to arbitrarily separate is enough for her. Nature, as Fresnel said, does not care about analytical difficulties.

The diagram of the Taijitu becomes a flat section of a double spiral expanding and contracting in three dimensions, a motion that seems to give it an “extra dimension” in time. It is always a real challenge to follow the evolution of this process, both spiral and helical, within a vertical cylinder, which is but the complete representation of the indefinite propagation of a wave motion, the “universal spherical vortex” described by René Guenon in three short chapters of his work “The Symbolism of the Cross”. The cross of which Guenon speaks is certainly a system of coordinates in the most metaphysical sense of the word; but the physical side of the subject is by no means negligible.

The propagation of a wave in space is a process as simple as it is difficult to grasp in its entirety; one need only think of Huygens’ principle, the universal mode of propagation, which also underlies all quantum mechanics, and which involves continuous deformation in a homogeneous medium.

In that same year of 1931 when Guenon was writing about the evolution of the universal spherical vortex, the first work was published on what we know today as the Hopf fibration, the map of the connections between a three-dimensional sphere and a sphere in two dimensions. This enormously complex fibration is found even in a simple two-dimensional harmonic oscillator. Also in the same year, Paul Dirac conjectured the existence of that unicorn of modern physics known as the magnetic monopole, which brought the same kind of evolution into the context of quantum electrodynamics.

Peter Alexander Venis gives us in a wonderful work a completely phenomenological approach to the classification and typology of the different vortices. There is nothing mathematical here, neither advanced nor elementary, but a sequence of transformations of 5 + 5 + 2, or 7 classes of vortices with many types and countless variants that unfold from the completely undifferentiated only to return to the undifferentiated again —or to the infinity of which Venis prefers to speak. The transitions from ideal points with no extension to the apparent forms of nature seems quite arbitrary without the aid of vortices, hence their importance and universality.

Peter Alexander Venis

Venis does not deal with the mathematical and physical aspects of such a complex subject as vortices, and of course he does not apply to them the continuous proportion; on the contrary he gives us the privilege of a new fresh vision of these rich processes, in which the insight of a presocratic naturalist and the capacity for synthesis of a Chinese systematist meet together effortlessly.

Even if the Venis sequence admits variations, it presents us a morphological model of evolution that goes beyond the scope of ordinary sciences and disciplines. The author includes under the term “vortices” flow processes that may or may not have rotation, but there is a good reason for that, since this is necessary to cover key conditions of equilibrium. He also applies the theory of yin and yang in a way that is both logical and intuitive, which probably admits a fairly elementary translation to the qualitative principles of other traditions.

The study of this sequence of transformations, in which questions of acoustics and image are closely linked, should be of immediate interest in order to deepen the criteria of morphology and design even without the need to enter into further considerations.

Peter Alexander Venis

A metric-free description would be, precisely, the perfect counterpoint for a subject as badly affected by arbitrariness in the measurement criteria as the study of proportionality. Naturally, mathematics also has several tools essentially free of metrics, such as external differential forms, which allow the study of the physical fields with maximum elegance. Then, perhaps, the metrics that physics deals with could be used as a middle ground between both extremes.

Thus, in this search to better define the context for the appearance of the continuous proportion in the world of phenomena, we can speak of three types of basic spaces: the ametric or metric-free space, the metric spaces, and the parametric or parameter spaces.

By metric-free space we understand the different spaces that are free of metrics and the action of measurement, from the purely morphological sequence of vortices above to projective geometry or the metric independent parts of the topology or differential forms. The projective, metric-independent space is the only true space; if we sometimes speak of metric spaces it is only because of the different connections with metric spaces.

By metric spaces, we mean those of the fundamental theories in physics, not only mainstream theories but also other related, with a special emphasis on Euclidean metric space in three dimensions of our ordinary experience. They include physical constants and variables, but here we are particularly interested in theories that do not depend on dimensional constants and can be expressed in homogeneous proportions or quantities.

By parametric or parameter spaces we mean the spaces of correlations, data, and adjustable values that serve to define mathematical models, with any number of dimensions. We can also call it the algorithmic and statistical sector.

We are not going to deal here with the countless relationships that can exist between these three kinds of spaces. Suffice it to say that to get out of this labyrinth of complexity in which all sciences are already immersed, the only possible Ariadne’s thread, if any, has to trace a retrograde path: from numbers to phenomena, with the emphasis on the latter and not the other way around. And we are referring to phenomena not previously limited by a metric space.

Much has been said about the distinction between “the two cultures” of sciences and the humanities, but it should be noted that, before attempting to close this by now unsurmountable gap, we should begin first by bridging the gap between the natural, descriptive sciences and a physical science that, justified by its predictions, becomes indistinguishable with the power of abstraction of mathematics while isolating itself from the rest of Nature, to which it would like to serve as foundation. Reversing this fatal trend is of the greatest importance for the human being, and all efforts in that direction are worthwhile.

POLO DE INSPIRACIÓN – El hilo de Ariadna

Los que gusten de problemas sencillos, pueden intentar demostrar esta relación antes de seguir adelante. Es insultantemente fácil:

φ = 1/φ +1 = φ-1+1 = 1/φ-1

Debemos este afortunado descubrimiento a John Arioni. El que quiera puede ver la elemental demostración, junto a otras relaciones inesperadas, en la página correspondiente de Cut the knot, [1]. El número φ es, naturalmente, la razón áurea (1+√ 5)/2, en cifras decimales 1,6180339887…, y cuyo recíproco es 0,6180339887… . Y puesto que sus infinitas cifras pueden calcularse por medio de la fracción continua más simple, aquí también la llamaremos razón continua o proporción continua, debido a su rol de mediador entre aspectos discretos y continuos de la naturaleza y la matemática.

Podría pensarse que esta es la típica asociación casual de las páginas de matemáticas recreativas. Se puede obtener φ de muchas maneras con círculos, pero por lo que sé ésta es la más elemental de todas, y la única en que la unidad de referencia es el radio. Dicho de otro modo, esta relación parece demasiado simple y directa para no contener algo importante. Y sin embargo no se ha descubierto sino muy recientemente.

John Arioni

Desde Euclides y probablemente desde mucho antes, la entera historia de las investigaciones sobre esta proporción se ha derivado de la división de un segmento “en extrema y media razón”, y ha proseguido con la construcción de cuadrados y rectángulos. Los casos más inmediatos implicando al círculo provienen de la construcción del pentágono y el pentagrama, conocidos sin duda por los pitagóricos; pero no hace falta saber nada de matemáticas para darse cuenta de que la relación contenida en este símbolo es de un orden mucho más fundamental —tanto como, desde el punto de vista cuantitativo, el 2 está más cerca del 1 que el 5, o desde el punto cualitativo, la díada está más cerca de la mónada que la péntada.

Si el círculo y su punto central son el símbolo más general y abarcador de la mónada o unidad, aquí sin duda tenemos la proporción más inmediata y reveladora de la reciprocidad, o simetría dinámica, presentada tras la división en dos partes. El Taijitu tiene una doble función, como símbolo del Polo supremo, más allá de la dualidad, y como representación de la primera gran polaridad o dualidad. Se encuentra, como si dijéramos, a mitad de camino entre ambos, y ambos se vinculan por una relación ternaria —justamente la proporción continua.

Una relación es la percepción de una conexión dual, mientras que una proporción o correlación implica una relación de tercer orden, una “percepción de la percepción”. Desde al menos los tiempos del triángulo de Kepler, hemos sabido que la razón áurea articula y conjuga en sí misma las tres medias más fundamentales de la matemática: la media aritmética, la media geométrica, y la llamada media armónica entre ambas.

Podríamos preguntarnos qué hubiera ocurrido si Pitágoras hubiera conocido esta correlación, que ciertamente habría exaltado a Kepler también. Se dirá que, como cualquier otro supuesto contrafáctico, la pregunta es irrelevante. Pero la pregunta podría no estar dirigida tanto a los pasados que pudieron ser como a los futuros posibles. Pitágoras difícilmente hubiera podido sorprenderse tanto como nosotros, puesto que nada sabía de los valores decimales de φ o de π . Hoy sabemos que son dos razones con un número infinito de cifras, y que sin embargo se vinculan de manera exacta por la más elemental relación triangular.

La verdad matemática está más allá del tiempo, pero su revelación y construcción no. Esto nos permite ver ciertas cosas con la mirada de una Geohistoria, como si dijéramos, en cuatro dimensiones. Se ha especulado sobre lo que habría pasado si los griegos hubieran conocido y hecho uso del cero, sobre si tal vez hubieran desarrollado el cálculo moderno. Ello es muy dudoso, pues aún habrían necesitado dar una serie de grandes saltos muy lejanos a su concepción del mundo, como el sistema de numeración, el cero y su uso posicional, la idea de derivada, etcétera. Las espirales dobles eran un motivo común en la Grecia arcaica, y las especulaciones aritmológicas de los pitagóricos, muy similares en naturaleza a las que con el paso del tiempo desarrollaron los chinos; pero por lo que fuera los griegos no entrelazaron las dos espirales en una, y, en la misma China, no se llegó a un diagrama como el que hoy conocemos sino hasta finales de la dinastía Ming, tras una larga evolución.

Lo que es sólo otro ejemplo de cuánto cuesta ver lo más simple. No es tanto la cosa misma, sino el contexto en el que emerge y en el que encaja. Según se mire, esto puede ser tan alentador como desalentador. En el conocimiento siempre hay un alto margen para simplificar, pero como en tantas otras cosas, ese margen depende en la mayor medida de saber encontrar las circunstancias.

El Taijitu, el símbolo del polo supremo, es un círculo, una onda y un vórtice todo en uno. Por supuesto, el vórtice está reducido a su mínima expresión en la forma de una doble espiral. De forma característica, los griegos separaron sus espirales dobles, y llegaron con el tiempo a dibujarlas cuadradas, en lo que hoy conocemos como grecas. No es sino otra expresión de su gusto por la estática, un gusto que también sirvió de marco general para la recepción de la proporción continua en la matemática y el arte, y que ha llegado hasta nosotros a través del Renacimiento.

La serie de números que aproximan hasta el infinito la razón continua, conocida ahora como números de Fibonacci, aparecía ya mucho antes en los triángulos de números consagrados en la India al monte Meru, “la montaña que rodea al mundo”, que es justamente otra designación del Polo. Como es sabido, de esta figura, conocida en Occidente como triángulo de Pascal, se derivan un enorme número de propiedades combinatorias, de teoría de la probabilidad o de escalas y secuencias de notas musicales.

El triángulo polar, conocido en otras culturas como triángulo de Khayyam o triángulo de Yang Hui, es uno de esos objetos matemáticos de los que se dice que están “extraordinariamente bien conectados”: de él pueden derivarse la expansión binomial, las distribuciones binomial y normal de la estadística, la transformada sen(x)n+1/x del análisis armónico, la matriz y la función exponencial, o los valores de los dos grandes engranajes del cálculo, las constantes π y e. Resulta casi increíble que la elemental conexión con el número de Euler no se haya descubierto hasta el año 2012 —por Harlan J. Brothers. Se trata, en lugar de sumar todas las cifras de cada fila, simplemente de extraer la ratio de ratios de su producto; la diferencia entre sumas y productos es un motivo que emergerá varias veces a lo largo de este artículo.

El triángulo polar parece una representación aritmética y “estática”, mientra que el Taijitu es como una instantánea geométrica de algo puramente dinámico. Sin embargo las complejas implicaciones para la música de este triángulo, parcialmente exploradas por el gran trabajo de investigación de Ervin Wilson, burlan en buena medida las separaciones creadas por adjetivos como “estático” y “dinámico”. En cualquier caso, si la escalera de cifras descrita por el monte Meru es un despliegue infinito, al ver las líneas escondidas en el diagrama circular del Polo sabemos de inmediato que se trata de algo irreductible —la primera nos ofrece su despliegue aritmético y la segunda su repliegue geométrico.

La primera mención conocida del triángulo, si bien de forma críptica, se encuentra en el Chandaḥśāstra de Pingala, donde el monte Meru se muestra como arquetipo formal para las variantes métricas en la versificación. También cabe decir que el primer autor chino que trata del triángulo polar no es Yang Hui sino Jia Xian (ca. 1010–1070), estricto contemporáneo del primer autor que difundió el símbolo del yin y del yang, el filósofo y cosmólogo Zhou Dunyi (1017–1073).

Hoy en día muy pocos son consciente de que ambas figuras son representaciones del Polo. Es mi conjetura que todas las relaciones matemáticas que pueden derivarse del triángulo polar también pueden encontrarse en el Taijitu, o al menos generarse a partir de él, aunque ciertamente bajo un aspecto muy diferente, y con un cierto giro que posiblemente implique a φ. Ambas serían la expresión dual de una misma unidad. Queda para los matemáticos ver qué hay de cierto en esto.

Entre contar y medir, entre la geometría y la aritmética, tenemos las áreas básicas del álgebra y el cálculo; pero hay sobrada evidencia de que éstas últimas ramas se han desarrollado en una dirección particular más que en otras —más en descomponer que en recomponer, más en el análisis que en la síntesis, más en las sumas que en los productos. Así que el estudio de las relaciones entre las dos expresiones del polo podría estar llena de interesantes sorpresas y resultados básicos pero no triviales, y plantea una orientación muy diferente para las matemáticas.

Se observa que el triángulo aritmético tiene diversas asociaciones con aspectos fundamentales del cálculo y la constante matemática e, mientras que el Taijitu y la constante φ carecen a este respecto de conexiones relevantes —de ahí el carácter totalmente marginal de la proporción continua en la ciencia moderna. Se ha dicho que ésta es una relación estática, a diferencia de la íntima relación con el cambio del número de Euler. Sin embargo el carácter extremadamente dinámico del símbolo del yin y el yang ya nos advierte de un cambio general de contexto.

Durante siglos el cálculo ha estado disolviendo la relación entre la geometría y el cambio en beneficio de la aritmética, de no tan puros números. Ahora podemos darle la vuelta a este reloj de arena, observando lo que ocurre en la ampolla superior, la inferior y en el cuello.


La disposición de la proporción continua entre el yin y el yang en un entorno puramente curvilíneo no solo no es estática sino que por el contrario no puede ser más dinámica y funcional, y, efectivamente, el Taijitu es la expresión más acabada de actividad y dinamismo con el número mínimo de elementos. El diagrama tiene además una intrínseca connotación orgánica y biológica, evocando de forma inevitable la división celular, que en realidad es asimétrica, y, al menos en el crecimiento vegetal, sigue a menudo una secuencia gobernada por esta razón. Es decir, el contexto en el que aquí emerge la razón continua es la verdadera antítesis de su recepción griega prolongada hasta hoy, y eso debería tener profundas consecuencias en nuestra percepción de dicha proporción.

Oleg Bodnar ha desarrollado un elegante modelo matemático de la filotaxis vegetal con funciones hiperbólicas áureas en tres dimensiones y con coeficientes recíprocos de expansión y contracción que puede verse en el gran libro panorámico que Alexey Stakhov dedica a la Matemática de la Armonía [2]. Es un ejemplo de simetría dinámica que puede conjugarse perfectamente con el gran diagrama de la polaridad, con independencia de la naturaleza de las fuerzas físicas subyacentes.

La presencia de patrones espirales basados en la proporción continua y sus series numéricas en los seres vivos no parece demasiado misteriosa. Ya sea en el caso de un nautilo o de zarcillos vegetales, la espiral logarítmica —el caso general- permite un crecimiento indefinido sin cambio de forma. Las hélices y espirales son un resultado inevitable de la dinámica del crecimiento, por la acreción constante de material sobre lo que ya está allí. En todo caso habría que preguntar por qué entre todas las posibles medidas de la espiral logarítmica surgen tan a menudo las que se acercan a este número en particular.

Y la respuesta sería que las aproximaciones discretas a la proporción continua tienen también unas propiedades óptimas desde varios puntos de vista —y el crecimiento celular depende en última instancia del proceso discreto de división celular, y a niveles de organización más elevados, de otros elementos discretos como las hojas. Puesto que la convergencia de la razón continua es la más lenta, y las plantas tienden a ocupar al máximo el espacio disponible, esta proporción les permite emitir el mayor número de hojas en un espacio dado.

Esta explicación parece, desde un punto de vista descriptivo, suficiente, y hace innecesario invocar la selección natural o mecanismos más profundos relacionados con la física. Sin embargo, además de la relación básica entre lo continuo y lo discreto, contiene implícito un vínculo de gran alcance entre formas generadas por un eje, como las piñas de un pino, y la termodinámica, en particular con el llamado “principio de la máxima producción de entropía”, que volveremos a encontrar más adelante.

Ni que decir tiene que no pensamos que esta proporción contenga “el secreto” para ningún canon universal de belleza, puesto que seguramente un canon tal ni siquiera existe. Sin embargo su presencia recurrente en los patrones de la naturaleza nos muestra aspectos muy variados de un principio espontáneo de organización, o autoorganización, detrás de lo que denominamos superficialmente “diseño”. Por otra parte la aparición de esta constante matemática, por sus mismas irreductibles propiedades, en un gran número de problemas de máximos y mínimos —de optimización- y de parámetros con puntos críticos permite vincularla natural y funcionalmente con el diseño humano y su búsqueda de las configuraciones más eficientes y elegantes.

La emergencia de la razón continua en el símbolo dinámico del polo —del principio mismo- augura un cambio sustantivo tanto en la contemplación de la naturaleza como en las construcciones artificiales de los seres humanos. Contemplación y construcción son actividades antagónicas. Una va de arriba abajo y la otra de abajo arriba, pero siempre se produce alguna suerte de equilibrio entre ambas. La contemplación permite liberarnos de los vínculos ya construidos, y la construcción se apresta a llenar el vacío resultante con otros nuevos.

Resulta un tanto extraño que la razón continua, a pesar de su frecuente presencia en la naturaleza, se encuentre tan poco conectada con las dos grandes constantes del cálculo, π y e —salvo por la ocurrencia de la “espiral logarítmica áurea”, que es sólo un caso particular de espiral equiangular. Sabemos que tanto π como e son números trascendentales, mientras que φ no lo es, aunque sí es el “número más irracional”, en el sentido de que es el de más lenta aproximación por números racionales o fracciones. φ también es el más simple fractal natural.

Hasta ahora, el vínculo más directo con las series trigonométricas ha sido a través del decágono y las identidades φ = 2cos 36° = 2cos (π/5). Tampoco hasta ahora se ha asociado demasiado con los números imaginarios, siendo i, por así decirlo, la tercera gran constante, que se conjuga con las dos citadas en la fórmula de Euler, de la que la llamada identidad de Euler (eiπ = -1) es un caso particular.

El número e, base de la función que es su propia derivada, aparece naturalmente en tasas de cambio, las subdivisiones ad infinitum de una unidad que tienden a un límite y en la mecánica ondulatoria en general. Los números imaginarios, por otro lado, tan comunes en la física moderna, aparecen por primera vez con las ecuaciones cúbicas y retornan cada vez que se asignan grados de libertad adicional al plano complejo.

En realidad los números complejos se comportan exactamente como vectores con dos dimensiones, en los que la parte real es el producto interno o escalar y la parte llamada imaginaria corresponde al producto cruz o vectorial; así que sólo cabe asociarlos a movimientos, posiciones y rotaciones en el espacio en dimensiones adicionales, no a las cantidades físicas propiamente dichas.

Esto se dice más fácil que se piensa, puesto que es aún más “complejo” determinar qué es una cantidad física o una variable matemática independientemente de cambio y movimiento. Tanto para interpretar geométricamente el significado de vectores y números complejos en física como para generalizarlos a cualquier dimensión, se puede usar una herramienta como el álgebra geométrica —ese “álgebra que fluye de la geometría”, al decir de Hestenes; pero aún así queda más para la geometría de lo que podemos pensar.

Muchos problemas se simplifican en el plano complejo, o al menos eso nos aseguran los matemáticos. Uno de ellos bajo el seudónimo Agno enviaba en el 2011 una entrada a un foro de matemáticas con el título “Razón Áurea Imaginaria”, que muestra una conexión directa con π y e : Φi = e ± πi/3 [3]. Otro autor anónimo encontró esta misma identidad en 2016, junto con similares derivaciones, buscando propiedades fundamentales de una operación conocida como “adición recíproca”, de interés en cálculos de resistencias en paralelo y en circuitos. Siendo la refracción un tipo de impedancia, también puede tener pertinencia en la óptica. Nuestro motivo de partida puede relacionarse desde el comienzo también con las series geométricas y funciones hipergeométricas ordinarias y con argumento complejo asociadas a fracciones continuas, formas modulares y series de Fibonacci, e incluso con la geometría no conmutativa [4]. La razón áurea imaginaria, en cualquier caso, refleja como en un espejo muchas de las cualidades de su modelo real.

El Taijitu es un círculo, una onda y un vórtice, todo en uno. El genio sintético de la naturaleza es bien diferente del de el hombre, y no necesita ninguna unificación porque le basta con no separar. A la naturaleza, como decía Fresnel, no le importan las dificultades analíticas.

El diagrama del Taijitu viene a ser una sección plana de una doble espiral expandiéndose y contrayéndose en tres dimensiones, movimiento éste que parece darle una “dimensión adicional” en el tiempo. Resulta siempre un auténtico desafío la visualización y recreación animada de este proceso, a la vez espiral y helicoidal, dentro de un cilindro vertical, que no es sino la representación completa de la propagación indefinida de un movimiento ondulatorio, el “vórtice esférico universal” en el que se detiene René Guenon en tres muy breves capítulos de su obra “El simbolismo de la Cruz” [5]. La cruz de la que habla Guenon es ciertamente un sistema de coordenadas en el sentido más metafísico de la palabra; pero el lado más físico del tema no es en absoluto despreciable.

La propagación de una onda en el espacio es un proceso tan simple como difícil de captar en su integridad; no hay más que pensar en el principio de Huygens, el modo universal de propagación, que subyace también a toda la mecánica cuántica, y que entraña una deformación continua en un medio homogéneo.

En ese mismo año de 1931 en que Guenon escribía sobre la evolución del vórtice esférico universal, se publicaba el primer trabajo sobre lo que hoy conocemos como la fibración de Hopf, el mapa de las conexiones entre una esfera tridimensional y otra en dos dimensiones. Esta fibración, tan enormemente compleja, se encuentra incluso en un simple oscilador armónico bidimensional. También en ese año, el físico Paul Dirac conjeturaba la existencia de ese unicornio de la física moderna conocido como monopolo magnético, que trasladaba el mismo tipo de evolución al contexto de la electrodinámica cuántica.

Un acercamiento completamente fenomenológico a la clasificación de los diferentes vórtices nos la da el maravilloso trabajo de Peter Alexander Venis [6]. No hay aquí nada de matemática, ni avanzada ni elemental, pero se propone una secuencia de transformaciones de 5 + 5 + 2, o bien 7 clases de vórtices con mucho tipos e incontables variantes que se despliegan desde lo completamente indiferenciado para volver de nuevo a lo indiferenciado —o a la infinidad de la que habla Venis. Las transiciones desde el punto sin extensión a las formas aparentes de la naturaleza sin el concurso de los vórtices son cuando menos arbitrarias, de ahí su importancia y universalidad.

Peter Alexander Venis

Venis no toca ni la matemática ni la física de un tema complejo como los vórtices, y por supuesto no aplica a ellos la proporción continua; por el contrario nos brinda el privilegio de una visión virgen de estos ricos procesos, y en la que, como sin quererlo, parecen darse cita la visión de un naturalista presocrático y la capacidad de síntesis de un sistematizador chino.

Aun si la secuencia de Venis admite variaciones, nos ofrece en todo caso un modelo morfológico de evolución que va más allá del alcance de las ciencias y disciplinas ordinarias. El autor engloba bajo el término “vórtices” procesos de flujo que pueden tener rotación o no, pero hay un buen motivo para hacerlo, puesto que esto es necesario para abarcar condiciones clave de equilibrio. También aplica la teoría del yin y el yang de una forma a la vez lógica e intuitiva, que probablemente admite una traducción elemental a los principios cualitativos de otras tradiciones.

Peter Alexander Venis

El estudio de esta secuencia de transformaciones, en la que se unen estrechamente cuestiones de acústica y de imagen, debería ser de interés inmediato para profundizar en los criterios de la morfología y el diseño incluso sin necesidad de adentrarse en consideraciones ulteriores. Pero hay mucho más que eso, y luego volveremos sobre ello.

Una descripción independiente de métricas sería, justamente, el contrapunto perfecto para un sujeto tan perjudicado por la discrecionalidad y la arbitrariedad en los criterios de medida como el estudio de la proporcionalidad. Naturalmente, también la matemática dispone de herramientas esencialmente libres de métrica, como las formas diferenciales exteriores, que permiten estudiar los campos de la física con la máxima elegancia. Entonces, tal vez, las métricas de las que se ocupa la física podrían ejercer de término medio entre ambos extremos.

Así pues, en esta búsqueda por definir mejor el entorno de aparición de la razón continua en el mundo de las apariencias, podemos hablar de tres tipos de espacios básicos: el espacio amétrico, los espacios métricos, y los espacios paramétricos.

Por espacio amétrico entendemos los espacios que son libres de métrica y la acción de medir, desde la secuencia puramente morfológica de vórtices ya comentada a la geometría proyectiva y la afín o las partes independientes de métrica de la topología o las formas diferenciales. El espacio amétrico, el espacio sin medida, es el único y verdadero espacio; si a veces hablamos de espacios amétricos es sólo por las diversas conexiones posibles con los espacios métricos.

Por espacios métricos, entendemos sobre todo a los de los de las teorías fundamentales en física, no sólo las actualmente en circulación sino también otras relacionadas, con un énfasis especial en el espacio métrico euclídeo en tres dimensiones de nuestra experiencia ordinaria. Incluyen constantes físicas y variables, pero aquí nos interesan particularmente las teorías que no dependen de constantes dimensionales y pueden expresarse en proporciones o cantidades homogéneas.

Por espacios paramétricos o espacios de parámetros entendemos los espacios de correlaciones, datos, y valores ajustables que sirven para definir modelos matemáticos, con cualquier número de dimensiones. Podemos llamarlo también el sector algorítmico y estadístico.

No nos vamos a ocupar aquí de las incontables relaciones que puede haber entre estos tres tipos de espacios. Baste decir que para salir de este laberinto de la complejidad en el que ya se encuentran inmersas todas las ciencias el único hilo de Ariadna posible, si es que hay alguno, tiene que describir un camino retrógrado: de los números a los fenómenos, con el énfasis puesto en estos últimos y no al contrario. Y nos referimos a fenómenos que no están ya previamente acotados por el espacio de medida.

Mucho se ha hablado de la distinción entre las “dos culturas”, las ciencias y las humanidades, pero se debe observar que, antes de intentar cruzar esa distancia hoy por hoy insalvable, habría que empezar por salvar la brecha entre ciencias naturales, descriptivas, y una ciencia física que, al justificarse por sus predicciones, se confunde cada vez más con el poder de abstracción de la matemática mientras se aísla del resto de la naturaleza, a la que querría servir de fundamento. Revertir esta fatal tendencia es de la mayor importancia para el ser humano, y podemos dar por bien empleados todos los esfuerzos encaminados en esa dirección.