Cuestiones de principio

Los principios de la física newtoniana se basan, como no podía ser menos, en lo circular de sus definiciones de magnitudes vectoriales y escalares como fuerzas y masa; la mecánica lagrangiana y los campos gauge, que para decirlo eufemísticamente la “extienden”, dicen no renunciar al fondo invariable de esas definiciones pero demandan elecciones para regular los grados de libertad redundantes. La ley de Weber permitía ya apreciar en el problema de Kepler los elementos constituyentes de los campos gauge incluso si prescindía por completo de la idea misma de campos —lo que cambia es el status mismo de las definiciones fundamentales, que se desdibujan. Los potenciales retardados permiten dar cuenta de los aspectos esenciales de la física moderna, incluidos los llamados efectos relativistas.

Lo conocido y lo desconocido se confunden el uno con el otro muy fácilmente. A nivel inmediato, para nosotros una fuerza es, por un lado, lo que induce movimiento, y por otro, lo que produce deformaciones en otros cuerpos. Pero la “fuerza” de la gravedad no deforma a los cuerpos cuando los fuerza a moverse, y en cambio si lo hace cuando no los fuerza —cuando permanece como potencial. Newton dijo que el torbellino del cubo de agua dando vueltas era debido a “fuerzas ficticias” centrífugas en un espacio absoluto, pero Empédocles había mostrado dos mil años antes que ese mismo cubo dando vueltas sobre nuestras cabezas contrarresta la fuerza de la gravedad.

¿Por dónde se empuña el eje del Polo? El Polo, lo que equilibra los extremos de la realidad, no se deja empuñar. Sin embargo el Taijitu nos invita a mirar desde su perspectiva. En cuanto a su espíritu, los tres principios de Newton se resumen tácitamente en la frase “nada se mueve si no lo mueve otra cosa”, esto es, nada se mueve sin una fuerza externa —y ni la relatividad, ni la mecánica cuántica, ni la moderna cosmología han pretendido nunca otra cosa. Todo está muerto, salvo por el empujón que algo externo le ha dado. Ahora bien, todo este prodigioso desarrollo de la ciencia moderna entendida como mecanicismo no es sino el despliegue de las consecuencias del principio de inercia, y el giro irónico es que se pueden realizar todos los cálculos de la física moderna, y muchos otros más, sin recurrir a este principio para nada.

El principio de equivalencia nos dice que la masa gravitatoria y la masa inerte son iguales o indiscernibles, y por eso la teoría general de la relatividad afirma que no hay diferencia entre la “fuerza” gravitatoria y las fuerzas ficticias. Este es un intento de caminar en dirección a una física relacional, pero después de terribles rodeos, y de arbitrar distintas versiones —muy débil, débil, medio-fuerte y fuerte- de dicho principio, se termina por volver al punto de partida, que es de lo que se trataba.

El punto de partida es el principio de inercia, del que nunca se querría prescindir. El principio de inercia, que de puro obvio se ha juzgado redundante, esconde toda la intencionalidad de los razonamientos en física. Dicho de otro modo, hacer física sin el principio de inercia equivale a suspender su intención, aquello que lleva todas las operaciones de vuelta al razonamiento circular de costumbre, con la ayuda de los otros dos principios.

Se ha juzgado el principio de inercia, ilustrado por la bola que rueda por toda la eternidad en un espacio vacío, como algo perfectamente ideal. Pero no se trata de un ideal perfecto sino contradictorio: el movimiento de la bola debe relacionarse con ejes de coordenadas externas a ese sistema, y así tenemos un sistema aislado que tiene la propiedad de no estar aislado. En realidad no puede haber sistemas inercialmente aislados.

Se puede, e incluso se debe, tal como hace Assis, plantear una mecánica completamente relacional sin usar el concepto de inercia introduciendo a cambio el principio de equilibrio dinámico, de forma que “la suma de todas las fuerzas de cualquier naturaleza actuando sobre cualquier cuerpo sea siempre cero en todos los sistemas de referencia”. Esto libera a la física de los conceptos de inercia, masa inerte, espacio absoluto, y las escolásticas distinciones entre marcos de referencia [22].

Lo diametralmente contrario a lo implícito en las leyes de la mecánica también permite una descripción consistente con lo que conocemos. Así, por ejemplo, Alejandro Torassa muestra una dinámica válida para todos los observadores en el que “el movimiento de los cuerpos no está determinado por las fuerzas que actúan sobre ellos, sino que son los propios cuerpos los que determinan su movimiento”, equilibrando las fuerzas que actúan sobre ellos. “El estado natural de un cuerpo en ausencia de fuerzas externas no es sólo el estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, sino que el estado natural de movimiento de un cuerpo es cualquier estado posible de movimiento… todo estado posible de movimiento es un estado natural de movimiento” [23] .

Si la suma de todas las fuerzas es cero en cualquier estado, sólo podrán medirse diferencias y ratios de fuerzas; introducir aquí constantes con dimensiones tendría que estar fuera de lugar. Otra forma de enunciar este principio sería decir que “la suma cero de todas las fuerzas incluye el movimiento observable”, algo que cierta inercia mental hace difícil de aceptar. Tal vez lo captamos mejor si decimos que “el movimiento observable compensa al resto de fuerzas”, es decir, equilibra a las que tampoco son observables. El equilibrio de fuerzas no se confunde con su ausencia, pero lo que observamos es movimiento y velocidad, no fuerzas.

Existen por supuesto otras formas de representar este equilibrio fundamental sin una dependencia directa del movimiento. Podemos tomar la idea de René Guenon de un medio inicialmente homogéneo, en el que a cada compresión en un punto deba corresponderle una expansión igual en otro punto, de tal modo que sus densidades sean recíprocas y su producto sea siempre la unidad, aunque las fuerzas asociadas a ellos puedan ser de signo contrario, atractivas o repulsivas [24]. Si en medio originalmente homogéneo imaginamos la aparición de una porción más llena y otra más vacía, ambas no podrían surgir sin más sin una torsión o helicidad que las conecte -y esa torsión sería un cambio de densidad. La caracterización del equilibrio como producto es lo que hemos considerado aquí como reciprocidad en el sentido más intrínseco.

La cosmología de la física moderna puede aducir que aspectos como el equilibrio general no son cuestiones de principios sino de observación. Lo que ocurre en realidad es que, si todo lo que se observa es movimiento, y se parte del principio de inercia, todo tiene que remitir a causas externas a lo que se observa —de ahí la mano de Dios para definir el movimiento innato de los planetas en Newton, o la noción de un evento al comienzo del tiempo que saque toda la energía de la nada. Así por ejemplo, y contrariamente a la historia publicitada hasta la saciedad, las primeras y más precisas predicciones de la radiación de fondo de microondas no fueron las de Gamow u otros creacionistas, sino las de los físicos que asumían un universo en equilibrio dinámico [25].

Este es el mejor ejemplo de que el supuesto básico sobreentendido se impone sobre todo lo demás, que por el contrario se procura acomodar al supuesto. Poco importa que esto implique la más descomunal violación del principio de conservación de energía, con tal de que se arroje fuera de los límites del terreno de juego.

Para la física moderna, y no sólo la física, el desequilibrio es el padre de todas las cosas, y el equilibrio es sinónimo de muerte y desorganización. Pero las mismas observaciones y datos, han permitido siempre decir que el equilibrio dinámico es el padre y la madre de todas las cosas y que la entropía no lleva a la muerte térmica sino al aumento de la organización.

La verdadera relevancia de este equilibrio dinámico se apreciará debidamente cuando la mecánica y la termodinámica se unan en una sola disciplina como la termomecánica del tipo de la propuesta por Pinheiro u otras equivalentes y más desarrolladas. Y puesto que su sistema de dos ecuaciones es una alternativa al lagrangiano, aún encaja mejor en las ecuaciones de Noskov, puesto que las vibraciones longitudinales de los cuerpos — que coinciden con la fórmula de Planck- equivalen al ingreso de energía libre disponible en el medio.

La termomecánica de Pinheiro está concebida para sistemas abiertos o fuera de equilbrio, y la mecánica relacional, incluso si no se consideran las propiedades del medio, al carecer de constantes dimensionales depende implícitamente del entorno.

La manzana y el dragón

Por lo que sé, Nikolay Noskov fue el primero en apreciar, en los años 90 del pasado siglo, que la dinámica de Weber era hasta el momento la única que permitía dar cuenta de la forma de las elipses, incluso si no pretendían dar una “explicación mecánica” de su creación. A ese respecto, Noskov insistió particularmente en asociar los potenciales retardados con vibraciones longitudinales de los cuerpos en movimiento para darle un contenido a la conservación, meramente formal en Weber, de la energía; también insistió en que su ocurrencia penetraba todo tipo de fenómenos naturales, desde la estabilidad de los átomos y sus núcleos, al movimiento elíptico orbital, el sonido, la luz, el electromagnetismo, el flujo del agua o las ráfagas de viento [9].

A pesar de los malentendidos sobre el tema, estas ondas longitudinales no son incompatibles con la física conocida, y Noskov recordaba que la misma ecuación de onda de Schrödinger es una mezcla de ecuaciones diferentes que describen ondas en un medio y ondas dentro del cuerpo en movimiento —y lo mismo ocurrió desde el comienzo con las “ondas electromagnéticas” de Maxwell, que incluso desde el punto de vista más clásico no pueden ser otra cosa que un promedio estadístico entre lo que ocurre en porciones de espacio y de materia.

Fue también Noskov quien advirtió que el comportamiento de las fuerzas y potenciales en la ley de Weber habían entrañado desde siempre un feedback, aunque no parece haber percibido que esto es extensible a todas las teorías gauge, y, finalmente, incluso a la propia mecánica celeste newtoniana, si bien en todos estos casos se presenta disfrazada. Los átomos serían definitivamente “tontos” sin esta capacidad de ajuste incorporada en la misma idea del campo.

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Volvamos ahora a la razón continua. Miles Williams Mathis se pregunta cómo es que, habida cuenta de la igualdad Φ2 + Φ = 1, no se ha relacionado phi con las más elementales leyes de cuadrados inversos de la física; más aún, se pregunta cómo es que no ha sido asociada con la propia esfera, siendo tan evidente que la superficie de una esfera también disminuye al cuadrado [10].

Podría argumentarse que la serie de Fibonacci no cae al cuadrado, pero el factor Φ sí, como puede visualizarse fácilmente en los cuadrados sucesivos de la espiral áurea (1, 1/Φ, 1/Φ2 , 1/Φ3 …) o en su expresión como raíz cuadrada continua. Mathis no está confundiendo el cuadrado inverso con la raíz cuadrada, sino que está hablando de un factor de escala entre dos hipotéticos subcampos el uno dentro del otro.

  Miles Mathis: More on the Golden Ratio and Fibonacci Series

Puede que Mathis esté en lo cierto al insistir en que la presencia de phi debe tener también una causa física subyacente; el único problema es que la física moderna ignora y niega por completo una relación de escala entre carga y gravedad, en verdad luz y gravedad, como el que propone. Sin embargo el origen de su correlación se encuentra en el mismísimo problema de la elipse de Kepler, en el que quiere ver una acción conjunta de dos campos diferentes, el segundo basado no sólo en el cuadrado inverso de la distancia sino también en una ley inversa a la cuarta potencia (1/ r4) con un producto de la densidad por el volumen, en lugar de la fórmula habitual de masas.

Ahora bien, Mathis es quien primero que ha hablado expresamente de la conflación de la velocidad orbital y el movimiento innato en Newton, interpretando el lagrangiano como el velado producto de dos campos, de efectos atractivo y repulsivo, cuya proporción o intensidad relativa está en función de la escala y densidad [11].

La inclusión de la densidad tendría que ser fundamental en una física verdaderamente relacional que siguiera el espíritu de Arquímedes, lo que nos lleva de vuelta al tema de las ondas y las espirales. Las espirales son una ocurrencia común en astronomía, siendo las galaxias su manifestación más aparente; estas galaxias han sido descritas en términos de ondas de densidad.

También en el Sistema Solar y la distribución de sus planetas se ha querido ver una espiral logarítmica con Φ como clave. Como en el caso de la llamada “ley”, o más bien regla de Titus-Bode, la existencia de un orden no aleatorio parece bastante evidente, pero el ajuste fino de los valores dados resulta un tanto arbitrario.

No hay ni que decir que la elipse es la transformación del círculo cuando su centro se divide en dos focos; aunque desde el otro punto de vista bien puede decirse, y ello no carece de importancia, que el círculo es sólo el caso límite de la primera. Abundando en el problema de Kepler, aunque bajo otra luz, Nicolae Mazilu nos remite al teorema de Newton sobre las elipses giratorias en precesión. Newton ya había considerado cuidadosamente el caso de fuerzas decreciendo al cubo de la distancia, y en este caso hipotético los cuerpos describen órbitas en forma de espiral logarítmica, que por supuesto nadie ha observado.

Ahora bien, los trabajos de E. B. Wilson de 1919 y 1924 mostraban que las órbitas estables de los electrones en el átomo no eran elipses sino espirales logarítmicas; sólo que la fuerza implicada no es la fuerza de Coulomb, sino una fuerza de transición entre dos órbitas elípticas diferentes. La solución posterior del problema ha cubierto de olvido un modelo que también era consistente. Y como para todas las aplicaciones de las secciones cónicas a la física, también aquí se encuentra esa signatura de cambio en el potencial, el desplazamiento en la polarización o plano de fase conocido como fase geométrica, descubierta por Pancharatnam y generalizada con tanto éxito a la mecánica cuántica por Berry [12] .

Jan Boeyens: Commensurability in the Solar System

Diversos estudios han mostrado que la distribución de los planetas del Sistema Solar sigue la pauta de una espiral logarítmica áurea con una precisión de más del 97 por ciento, que puede aumentar si se tienen en cuenta los años siderales y periodos sinódicos del sistema en su conjunto [13]. Para Hartmut Müller, la proximidad se debería simplemente a la cercanía de phi al valor de √e, que es 1,648. Según otros recuentos que no he verificado, el promedio de la distancia entre planetas consecutivos desde el Sol a Plutón, tomando la distancia entre los dos anteriores como unidad, es justamente 1,618. Si se descarta este último planeta la media se desvía ampliamente, lo que da una idea de la fragilidad de estas calibraciones.

Se ha dicho a menudo que la armonía perceptible en el Sistema Solar no es posible sin algún mecanismo de feedback, mientras que el acercamiento newtoniano combina sin más una fuerza a distancia con trayectorias como las balas de cañón, dependientes de fuerzas externas o colisiones. Sin embargo ya hemos visto que incluso en el caso newtoniano se esconde una autointeracción al fundir en uno solo el movimiento innato y la velocidad orbital.

La mecánica celeste da paso a una versión más abstracta, la mecánica lagrangiana, para evitar este embrollo; la diferencia entre la energía cinética y la potencial se remiten a las llamadas “condiciones iniciales”, pero estas no son otra cosa que el movimiento innato de Newton… el caso es que esta diferencia promedio del lagrangiano y la excentricidad promedio de las órbitas es del mismo orden de magnitud que las desviaciones de la distribución del sistema solar obtenidas por la espiral logarítmica áurea. Así pues, se puede tomar la densidad lagrangiana del sistema entero y sus promedios y ver cómo van encajando en ella los planetas con sus órbitas.

Parece ser que las publicaciones científicas han dejado de admitir estudios sobre la distribución planetaria, puesto que, al no tener una física subyacente, quedan relegados al limbo de la especulación numerológica. Sin embargo el lagrangiano usado rutinariamente en mecánica celeste tampoco es nada más que una pura analogía matemática, y existe sólo para difuminar diferencias del mismo orden de magnitud. Basta con admitir esto para darse cuenta de que en realidad no nos movemos en terrenos diferentes.

Admitirlo es admitir también que la gravedad es de suyo una fuerza de ajuste que depende del entorno y no una constante universal, pero esto es algo que ya está implícito en la mecánica relacional de Weber.

La teoría de Mathis, es más específica en el sentido de que contempla G como una transformación entre dos radios. No se ha ocupado de encajar sus propias nociones de la física subyacente a la Sección Áurea en la espiral del Sistema Solar, pero si ha tratado en detalle la Ley de Bode de forma mucho más simple basándose en una serie basada en √2, además de incluir naturalmente en ella la equivalencia óptica, el desatendido hecho de que muchos planetas vienen a tener el mismo tamaño desde el Sol, del mismo modo que muchos satélites tienen el mismo tamaño que el Sol vistos desde sus respectivos planetas. No se trata por tanto de una mera coincidencia puntual [13]. La equivalencia óptica sería el guiño final que nos dedica la Naturaleza para ver quién es más ciega, si ella o nosotros.

Y ya que parece una típica travesura de la Naturaleza, aquí vamos a permitirnos una pequeña diversión numerológica. La equivalencia óptica que se pone de manifiesto en los eclipses totales es una relación angular y proyectiva (con un valor aproximado de 1/720 de la esfera celeste) en concordancia con el número 108, tan importante en diferentes tradiciones, y que implica el número de diámetros solares que hay entre el Sol y la Tierra, el número de diámetros terrestres en el diámetro del Sol y el número de diámetros lunares que separa a la Luna de la Tierra.

En el pentagrama que sirve para construir una espiral áurea —y con el que también puede determinarse unívocamente una elipse en geometría esférica- vemos que los ángulos recíprocos del pentágono y la estrella son 108 y 72 grados. Por otra parte, el mismo Mathis comenta, sin relacionarlo para nada con la equivalencia óptica, que en los aceleradores la masa relativista de un protón suele encontrar un límite de 108 unidades que ni la Relatividad ni la mecánica cuántica explican, y hace una derivación del famoso factor gamma que lo vincula directamente con G.

Por supuesto, el factor relativista de Lorentz coincide con la mecánica de Weber hasta un cierto límite de energía —aunque en la segunda lo que aumenta es la propia energía interna y no la masa. No podría haber conexión más natural con la equivalencia óptica que la de la propia luz, y la teoría de Mathis establece una serie de ecuaciones e identidades entre la luz y la carga, la carga y la masa, y la masa con la gravedad.

Por el otro lado, si tiráramos una piedra en un pozo que perforara la Tierra de lado a lado, y esperáramos a que volviera igual que un muelle o un péndulo, tardaría unos 84 minutos, lo mismo que un objeto en una órbita cerrada. Si hiciéramos lo mismo con una partícula de polvo en un asteroide del tamaño de una manzana, pero de la misma densidad que nuestro planeta, el resultado sería exactamente el mismo. Este hecho, que parece asignar un papel importante a la densidad sobre la propia masa y la distancia, traspasa la apariencia del fenómeno gravitatorio, y debería resultarnos tan pasmoso como la comprobación de Galileo de que los objetos caen a la misma velocidad independientemente de su peso; también encaja muy bien en el contexto de una espiral igual a todas las escalas.

En cualquier caso el lagrangiano, la diferencia entre energía cinética y potencial, tiene que desempeñar un papel fundamental como referencia para el ajuste fino de los distintos elementos del Sistema Solar. En mecánica celeste, a pesar de lo que se diga, la integral siempre ha conducido al diferencial, y no al contrario. Como ya dijimos la ley descubierta por Newton no produce la elipse sino que aspira a encajar en ella.

Así pues tenemos la manzana de Newton y el Áureo Dragón de la Espiral del Sistema Solar. ¿Se tragará el Dragón a la Manzana? La respuesta es que no necesita tragársela, puesto que desde el principio ha estado dentro de él. Repitámoslo de nuevo: los campos gauge, caracterizados por la invariancia del lagrangiano bajo transformaciones, equivalen a un feedback no trivial entre la fuerza y el potencial, que a su vez se confunde con el eterno “problema de la información”, a saber, cómo sabe la Luna dónde está el Sol y cómo “conoce” su masa para comportarse como se comporta. ¿Por qué se pregunta por el problema de la información al nivel de las partículas y se ignora donde puede verse a simple vista para empezar?

Considerando los ajustes del lagrangiano con respecto a un sistema descrito exclusivamente por fuerzas no variables, el entero Sistema Solar parece una enorme holonomía espiral.

El lagrangiano también puede esconder tasas virtuales de disipación —virtuales, claro, pues que las órbitas se conservan es algo que ya sabemos. De hecho lo que Lagrange hizo fue diluir el principio de trabajo virtual de D’Alembert introduciendo coordenadas generalizadas. Pero estamos tan acostumbrados a separar los formalismos de la termodinámica de los de los sistemas reversibles, supuestamente más fundamentales, que cuesta ver lo que esto significa. Sin embargo, el instinto más cierto nos dice que todo lo reversible no es sino pura ilusión, y los comportamientos reversibles, meras islas rodeadas por un océano sin formas. No hay movimiento sin irreversibilidad; pretender lo contrario es una quimera.

Mario J. Pinheiro ha querido reparar ese divorcio entre convicciones y formalismos proponiendo una reformulación de la mecánica alternativa a la mecánica lagrangiana, con un principio variacional para sistemas rotatorios fuera de equilibrio y un tiempo mecánico-termodinámico en un conjunto de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Aquí el equilibrio se da entre la variación mínima de energía y la producción máxima de entropía.

Esta termomecánica permite describir consistentemente sistemas con unas características bien diferentes de las de los sistemas reversibles, particularmente relevantes para el caso que nos ocupa: los subsistemas dentro de un sistema más grande pueden amortiguar las fuerzas que se ejercen sobre ello, y en lugar de estar esclavizados queda espacio para la interacción y la autorregulación. Puede haber un componente de torsión topológica y conversión de movimiento lineal o angular en movimiento angular. El momento angular sirve de amortiguador para disipar las perturbaciones, “un mecanismo de compensación bien conocido en biomecánica y robótica” [15] .

Hasta donde sé, la propuesta de Pinheiro de una mecánica irreversible es la única que da una explicación apropiada del famoso experimento de Newton del cubo de agua y el torbellino formado por su rotación, por el transporte de momento angular, frente a la interpretación absoluta de Newton o la puramente relacional de Leibniz, ninguna de las cuales hace verdaderamente al caso. Baste para ello recordar la observación elemental de que en este experimento la aparición del vórtice requiere tanto tiempo como fricción, y la materia es transferida a las regiones de mayor presión, signo claro de la Segunda Ley. Lo extraordinario es que no se haya insistido en esto antes de Pinheiro —algo que sólo puede explicarse por los papeles convenidos de antemano para las distintas ramas de la física. Por lo demás salta a la vista que muelles, torbellinos y espirales son las formas idóneas y más eficientes para la amortiguación.

Tal vez sea oportuno recordar que el llamado “principio de máxima entropía” no tiende hacia el máximo desorden, como muy a menudo se piensa incluso dentro del mundo de la física, sino más bien hacia lo contrario, y así es como lo entendió originalmente Clausius [16]. Esto establece un vínculo muy amplio pero esencial con el mundo de los sistemas más altamente organizados, a cuya cabeza solemos poner a los seres vivos. Por lo demás, basta con detenerse a contemplarlo un momento para comprender que una espiral como la del Sistema Solar sólo tiene sentido como proceso irreversible y en producción permanente.

El concepto de orden que introdujo Boltzmann no es menos subjetivo que el de armonía, siendo la principal diferencia que en la mecánica estadística los microestados, que no los macroestados, han recibido una más o menos adecuada cuantificación. Claro que no deja de ser otra grandiosa racionalización: la irreversibilidad de los fenómenos o macroprocesos se derivaría de la reversibilidad de los microprocesos. Pero la mera postulación de órbitas estacionarias en los átomos —pretender que pueda haber fuerzas variables en sistemas aislados- es ilegal tanto desde el punto de vista termodinámico como desde el mero sentido común.

El principio variacional propuesto por Pinheiro fue sugerido por primera vez por Landau y Lifshitz pero no ha tenido desarrollo hasta el día de hoy. Esto recuerda inevitablemente la idea de los pozos de amortiguación de la teoría de Landau y Zener, que surgen de la transferencia adiabática de par de torsión al cruzarse ondas sin interferencia destructiva. Richard Merrick ha relacionado directamente estos pozos o vórtices con las espirales áureas en condiciones de resonancia [17]. Muchos dirán que no se ve cómo pueden satisfacerse esas condiciones en el Sistema Solar, pero, una vez más, las resonancias de la teoría clásica de perturbaciones en la mecánica celeste de Laplace no se encuentran en mejor situación, no siendo otra cosa que puras relaciones matemáticas. Podría en todo caso decirse que están en peor situación, puesto que se nos pide que creamos que la gravedad puede tener un efecto repulsivo.

Richard Merrick: Harmonic formation helps explain why phi pervades the solar system

Aunque la termomecánica de Pinheiro conlleva algo similar a esta forma de transferencia, que evoca el transporte paralelo de la fase geométrica, incorpora además un término para la energía libre termodinámica, y esta es la diferencia capital. Un sistema reversible es un sistema cerrado, y no hay sistemas cerrados en el universo.

La propia teoría de la interferencia armónica de Merrick se vería elevada a un nivel mucho más alto de generalidad con sólo apreciar que el principio de máxima producción de entropía no es contrario a la generación de armonía sino más bien conducente a ella.

El principio de máxima producción de entropía se puede trasladar a la mecánica cuántica sin apenas más sacrificio que el la idea de la reversibilidad, como ha mostrado la termodinámica cuántica de Gian Paolo Beretta, Hatsopoulos y Gyftopoulos; el tema es de extraordinaria importancia pero ahora nos llevaría demasiado lejos [18].

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Los físicos se precian mucho del alto grado de precisión de algunas de sus teorías, lo que es harto comprensible habida cuenta de los trabajos que se toman en llevar adelante sus cálculos, en algunas ocasiones hasta diez y doce cifras decimales. Pocas cosas serían más elocuentes que tal precisión si llegara de forma natural, sin asunciones especiales ni arbitrarios ajustes ad hoc, pero en realidad ese suele ser el caso la mayoría de las veces. Aún no se puede medir el valor de la gravedad en la Tierra con más de tres cifras decimales, pero se pretenden hacer cálculos con diez o doce cifras hasta los confines del universo.

En el caso de Lagrange y Laplace esto es absolutamente evidente, y algún día nos preguntaremos cómo hemos podido aceptar sus métodos sin ni siquiera pestañear. Lo cierto es que esos procedimientos no se digirieron de la noche a la mañana, pero si finalmente se dieron por buenos fue precisamente por el deseo mismo de expandir más y más el dominio del cálculo, todo ello dentro de la idea, heredada de Newton y Leibniz, de que la Naturaleza no era sino una maquinaria de relojería de una precisión virtualmente infinita. Y para los medios qué mejor que servir al Ideal.

Con razón se ha dicho que si Kepler hubiera tenido datos más precisos, no hubiera avanzado su teoría del movimiento elíptico; y en verdad, los óvalos de Cassini, curvas de cuarto grado con un producto de las distancias constante, parecen reproducir las trayectorias observables con mejor aproximación, lo que habría que atribuir a las perturbaciones. Estos óvalos plantean además interesantes y profundas cuestiones sobre la conexión dinámica entre elipses e hipérbolas. Curiosamente, los óvalos de Cassini se utilizan para modelar la geometría de la curvatura negativa espontánea de los glóbulos rojos, en los que también se ha encontrado la proporción áurea [19].

Como nota Mathis, los primeros análisis de perturbaciones incluían, ya desde Newton y Clairaut, un factor 1/ r4 con una fuerza repulsiva, lo que muestra hasta qué punto los elementos “auxiliares” de la mecánica celeste están escondiendo algo mucho más importante [20].

Para la mirada del naturalista, acostumbrado a la muy variable precisión de las ciencias descriptivas, la espiral del Sistema Solar tendría que aparecer como el más espléndido ejemplo de ordenamiento natural; un orden tan magnífico que, a diferencia del de Laplace, puede incluir en su seno catástrofes sin apenas desdibujarse. Esta es una característica que atribuimos invariablemente a los seres vivos. Ya se juzgue como fenómeno natural o como organismo, teniendo todo en cuenta, la espiral muestra una precisión, más que suficiente, excelente.

¿Y cuál es el lugar del Taijitu, nuestro símbolo del Polo generador del Yin y el Yang, en todo esto? Bueno, ni que decir tiene que el sistema del que estamos hablando, junto con sus subsistemas —planetas y satélites- es un proceso eminentemente polar, con unos ejes que definen su evolución; y que también lo es la holonomía espiral que los envuelve. Y en cuanto al Yin y el Yang, si dijéramos que también pueden ser la energía cinética y la potencial, se nos diría que estamos proponiendo una correspondencia demasiado trivial. Pero lo ya apuntado debería servir para ver que no es el caso.

Sabemos que en las órbitas la energía cinética y la potencial ni siquiera se compensan, y cuando debieran hacerlo, como en el caso del movimiento circular en la ecuación de Binet, ni siquiera obtenemos una fuerza única —se requiere al menos una diferencia entre el centro del círculo y el de la fuerza. Buscando el argumento más simple posible, lo primero que viene a la mente es que la emergencia de la sección áurea en el Taijitu, el vórtice esférico en libre rotación, encierra una suerte de síntesis, analógica y a priori, de 1) una ley de áreas aplicada a las dos energías, 2) la geometría focal de las elipses, y 3) una diferencia integrable y un giro o cambio en el plano de polarización que no lo es. Este tercer punto solapa el lagrangiano y una fase geométrica que en principio parecen cosas bien diferentes.

Por supuesto, aquí dejamos grandes cabos sueltos que un diagrama tan simple no puede traducir. Para empezar, que una elipse tenga en su interior dos focos no significa que haya que buscar el origen de las fuerzas que la determinan en su interior, y esto nos llevaría a la teoría de perturbaciones. Pero cualquier influencia ambiental, incluida la de otros planetas, debería estar ya incluida en la fase geométrica.

Si pasáramos por un momento de la dinámica orbital a la luz, podríamos reinterpretar en clave de los potenciales retardados y su incidencia en la fase los datos de la elipsometría o el “monopolo abstracto con una fuerza de —1/2 en el centro de la esfera de Poincaré” al que apela Berry en su generalización de la fase geométrica. Ahora bien, conviene no olvidar que la luz era ya un problema esencialmente estadístico incluso desde los tiempos de Stokes y de Verdet. Grado de polarización y entropía de un haz de luz fueron siempre conceptos equivalentes, aunque aún estemos lejos de extraer todas las consecuencias de ello.

Damos por supuesta la coincidencia del potencial retardado y la fase geométrica, aunque ni siquiera existe una literatura específica sobre el tema, como tampoco hay acuerdo, por lo demás, en torno a la significación y estatus de la propia fase geométrica. No han faltado quienes la han visto como un efecto del intercambio de momento angular, y, en cualquier caso, en mecánica clásica la fase geométrica se pone de manifiesto con la formulación de Hamilton-Jacobi de variables de ángulo y acción [21].

Si armonía es totalidad, la llamada fase geométrica tendría que tener su parte en la matemática de la armonía, puesto que aquella no es sino la expresión de un “cambio global sin cambio local”. Ya notamos que la fase geométrica es inherente a campos que involucran secciones cónicas, así que su inclusión aquí es completamente elemental. Ahora bien, el que no implique a las fuerzas de interacción reconocidas no significa que se trate de meras “fuerzas ficticias”; se trata de fuerzas reales que transportan momento angular y resultan esenciales en la configuración efectiva del sistema.

Puesto que este transporte de energía es un fenómeno de interferencia, la energía potencial del lagrangiano ha de comprender la suma de todas las interferencias de los sistemas adyacentes, siendo este el “mecanismo de regulación”. Puede aducirse que en el curso de los planetas no observamos la manifestación de interferencias que caracteriza a los procesos ondulatorios, a pesar de que no se dude en recurrir a “resonancias” para explicar perturbaciones. Veamos esto un poco más de cerca.

Si hasta ahora se ha querido ver la fase geométrica, en mecánica clásica la diferencia en el ángulo sólido o ángulo de Hannay, como una propiedad relacional, la forma más adecuada de entenderla tendría que ser dentro de una mecánica puramente relacional como la ya mencionada de Weber. Ahora bien, como ya notó Poincaré, si tenemos que multiplicar la velocidad al cuadrado ya no tenemos forma de distinguir entre la energía cinética y la potencial, e incluso éstas dejan de ser independientes de la energía interna de los cuerpos considerados. De aquí la postulación de una vibración interna por Noskov. Empero, esta ambigüedad inherente no impide hacer cálculos tan precisos como con las ecuaciones de Maxwell, además de tener otras obvias ventajas.

Recuérdese la comparación de la piedra que atraviesa la Tierra y la partícula de polvo en su diminuto asteroide, que vuelven al mismo punto en el mismo tiempo. En un medio hipotético de densidad homogénea, esto sugeriría un efecto de amortiguación y sincronización conjuntos y a distintas escalas espaciales. Pero, sin necesidad de hipótesis alguna, lo que la fase geométrica implica es el acoplamiento efectivo de sistemas que evolucionan a diferentes escalas temporales, por ejemplo, los electrones y los núcleos, o fuerzas gravitatorias y atómicas, o, dentro de la misma gravedad, las interacciones entre los distintos planetas. Esto la hace particularmente robusta al ruido o las perturbaciones.

La ambigüedad de la mecánica relacional no tiene por qué ser una debilidad, sino que podría estarnos revelando ciertas limitaciones inherentes a la mecánica y su cálculo. Justo cuando queremos llevar a su extremo lógico el ideal de convertir la física en una pura cinemática, una ciencia de fuerzas y movimientos, de mera extensión, es cuando se revela su inevitable dependencia de los potenciales y de factores considerados “no locales”, aunque más bien tendríamos que hablar de configuraciones globales definidas.

Lo esencial en la comparación, aparentemente casual, entre el Taijitu y la órbita elíptica es que ésta última también es una expresión íntegra de la totalidad: no sólo de las fuerzas internas sino también de fuerzas externas que contribuyen contemporáneamente a su forma. Si el mecanismo de compensación sirve de regulación efectiva no puede afectar sólo a los potenciales sino igualmente a las fuerzas.

Dos tipos de reciprocidad

El Taijitu, emblema de la acción del Polo con respecto al mundo, y de la acción recíproca con respecto al Polo, recuerda inevitablemente, además, a la figura más universal de la física; nos estamos refiriendo naturalmente a la elipse —o más bien, habría que decir, a la idea de generación de una elipse, con su barrido de áreas y dos focos, puesto que aquí no existe ninguna excentricidad. La elipse aparece en las órbitas de los planetas no menos que en las órbitas atómicas de los electrones, y en el estudio de las propiedades de refracción de la luz da lugar a todo un campo de análisis, la elipsometría. El viejo problema de Kepler tiene invariancia de escala, y juega un papel determinante en todo nuestro conocimiento de la física desde la constante de Planck a las más lejanas galaxias.

En física, el principio de reciprocidad por excelencia es el tercer principio de la mecánica de Newton de acción y reacción, que está en el origen de todas nuestras ideas sobre la conservación de la energía y nos permite, por así decir, “interrogar” a las fuerzas cuando estamos obligados a suponer la constancia o proporcionalidad de otras cantidades. El tercer principio no habla de dos fuerzas diferentes sino de dos aspectos diferentes de la misma fuerza.

Ahora bien, la historia del tercer principio es curiosa, porque es casi obligado pensar que Newton lo estableció como clave de arco de su sistema para atar los cabos sueltos de la mecánica celeste —en particular en el problema de Kepler- antes que para la mecánica terrestre basada en el contacto directo entre los cuerpos. El tercer principio permite definir un sistema cerrado, y a los sistemas cerrados se ha referido toda la física fundamental desde entonces —sin embargo, es justamente en las órbitas celestes, como la de la Tierra entorno al Sol, donde menos puede verificarse este principio, puesto que el cuerpo central no está en el centro, sino en uno sólo de los focos. La fuerza designada por los vectores tendría que actuar sobre espacios vacíos.

Desde el primer momento se argumentó en el continente que la teoría de Newton era más un ejercicio de geometría que de física, aunque lo cierto es que, si la física y los vectores valían para algo, lo primero que fallaba era la geometría. Es decir, si suponemos que las fuerzas parten de y actúan sobre centros de masas, en lugar de meros puntos matemáticos. Pero, a pesar de lo que nos dice la intuición —que una elipse asimétrica sólo puede proceder de una fuerza variable, o bien de una generación simultánea desde los dos focos-, el deseo de expandir el dominio del cálculo se impuso sobre las dudas.

De hecho el tema ha permanecido tan ambiguo que siempre se ha intentado racionalizar con argumentos diferentes, ya sea el baricentro del sistema, ya sea la variación de la velocidad orbital, ya sea las condiciones iniciales del sistema. Pero ninguno de ellos por separado, ni la combinación de los tres, permite resolver el tema satisfactoriamente.

Puesto que nadie quiere pensar que los vectores están sometidos a un quantitative easing, y se alargan y acortan a conveniencia, o que el planeta acelera y se frena oportunamente por su propia cuenta como una nave autopropulsada, con el fin de mantener cerrada la órbita, se ha terminado finalmente por aceptar la combinación en una sola de la velocidad orbital variable y el movimiento innato. Pero ocurre que si la fuerza centrípeta contrarresta la velocidad orbital, y esta velocidad orbital es variable a pesar de que el movimiento innato es invariable, la velocidad orbital es ya de hecho un resultado de la interacción entre la fuerza centrípeta y la innata, con lo que entonces la fuerza centrípeta también está actuando sobre sí misma. Por lo tanto, y descontadas las otras opciones, se trata de un caso de feedback o autointeracción del sistema entero en su conjunto.

Así pues, habrá que decir que la afirmación de que la teoría de Newton explica la forma de las elipses, es, como mucho, un recurso pedagógico. Sin embargo esta pedagogía nos ha hecho olvidar que no son nuestra leyes las que determinan o “predicen” los fenómenos que observamos, sino que a lo sumo intentan encajar en ellos. Comprender la diferencia nos ayudaría a encontrar nuestro lugar en el panorama general.

La reciprocidad del tercer principio de Newton es simplemente inversa, por cambio de signo: a la fuerza centrífuga ha de corresponderle una fuerza opuesta de igual magnitud. Pero la reciprocidad más elemental de la física y el cálculo es la del producto inverso, como ya lo expresa la fórmula de la velocidad, (v = d/t), que es la distancia partida por el tiempo. En este sentido tan básico, tienen toda la razón los que han apuntado que la velocidad es el hecho y fenómeno primario de la física, del que el tiempo y el espacio se derivan.

El primer intento de derivar las leyes de dinámica del hecho primario de la velocidad se debe a Gauss, hacia 1835, cuando propuso una ley de la fuerza eléctrica basada no sólo en la distancia sino también en las velocidades relativas. El argumento era que leyes como la de Newton o la de Coulomb eran leyes de estática, más que de dinámica. Su discípulo Weber refinó la fórmula entre 1846 y 1848 incluyendo las aceleraciones relativas y una definición del potencial —un potencial retardado.

La fuerza electrodinámica de Weber es el primer caso de una fórmula dinámica completa en la que todas las cantidades son estrictamente proporcionales y homogéneas [8]. Fórmulas así parecían exclusivas de la estática de Arquímedes, o de leyes como la de la elasticidad de Hooke en su forma original. De hecho, aunque se trata de una fórmula expresa para cargas eléctricas y no una ecuación de campos, permite derivar las ecuaciones de Maxwell como un caso particular, e incluso pueden obtenerse los campos electromagnéticos integrando sobre el volumen.

La lógica de la ley de Weber podía aplicarse igualmente a la gravedad, y de hecho Gerber la utilizó para calcular la precesión de la órbita de Mercurio en 1898, diecisiete años antes de los cálculos de la Relatividad General. Como es sabido, la teoría de la Relatividad General aspiraba a incluir el llamado “principio de Mach”, aunque finalmente no lo consiguió; pero la ley de Weber sí era enteramente compatible con tal principio además de usar explícitamente cantidades homogéneas, mucho antes de que Mach escribiera sobre el tema.

Se ha dicho que el argumento y la ecuación de Gerber era “meramente empírica”, pero en cualquier otra época el no tener que crear postulados ad hoc se habría visto como la mejor virtud. En todo caso, si la nueva ley proporcional se utilizó para calcular una divergencia secular ínfima, y no para la elipse genérica, fue por la sencilla razón de que en un solo ciclo orbital no había nada que calcular ni para la vieja ni para la nueva teoría.

La fórmula puramente relacional de Weber no puede “explicar” tampoco la elipse, puesto que la fuerza y el potencial se derivan sin más del movimiento —pero al menos no hay nada unphysical en la situación, se garantiza el cumplimiento del tercer principio mientras se da cabida a una significación más profunda.

Irónicamente, al modificar la idea que se tenía de las fuerzas centrales, lo primero que Helmholtz y Maxwell le reprocharon a la ley de Weber era que no cumplía con la conservación de la energía, aunque finalmente en 1871 Weber demostrara que sí lo hacía con la condición de que el movimiento fuera cíclico —lo que ya era el requisito básico para la mecánica newtoniana o lagrangiana. La conservación es global, no local, pero lo mismo valía para las órbitas descritas en los Principia, no menos que las de Lagrange. No hay conservación local de fuerzas que puedan tener significado físico. El mismo Newton habló de una honda, siguiendo el ejemplo de Descartes, al hablar del movimiento centrífugo, pero en ningún lugar de sus definiciones se habla de que las fuerzas centrales deban entenderse como unidas por una cuerda. Sin embargo la posteridad tomó el símil al pie de la letra.

¿Por qué afirmar que hay en cualquier caso feedback, autointeracción? Porque todos los campos gauge, caracterizados por la invariancia del lagrangiano bajo transformaciones, equivalen a un feedback no trivial entre la fuerza y el potencial, lo que a su vez se confunde con el eterno “problema de la información”, a saber, cómo sabe la Luna dónde está el Sol y cómo “conoce” su masa para comportarse como se comporta.

Efectivamente, si el lagrangiano de un sistema —la diferencia entre la energía cinética y potencial- tiene un determinado valor y no es igual a cero, ello equivale a decir que la acción-reacción nunca se cumple de manera inmediata. Sin embargo el tercer principio de Newton se supone que se cumple de manera automática y simultánea, sin mediación de una secuencia de tiempo, y la misma simultaneidad se asume en la Relatividad General. La presencia de un potencial retardado, señala al menos la existencia de una secuencia o mecanismo, incluso si es incapaz de decirnos nada sobre él.

Lo cual nos demuestra que la reciprocidad aditiva y la multiplicativa son notoriamente diferentes; y la que nos muestra la proporción continua en el diagrama del Polo incluye la segunda clase. La primera es puramente externa y la segunda es interna al orden que se considera.

Todos los malentendidos del mecanicismo provienen de aquí. Y la diferencia esencial entre un sistema mecánico en el sentido trivial y un sistema ordenado u autoorganizado está justamente en este punto.

En su momento se creyó que los experimentos de Hertz confirmaban las ecuaciones de Maxwell y desmentían las de Weber, pero eso es otro malentendido porque si la ley de Weber —que fue el primero en introducir el factor relativo a la velocidad de la luz- no predecía ondas electromagnéticas, tampoco las excluía. Sencillamente las ignoraba. Por otra parte, tampoco han faltado los observadores perspicaces que han notado que en realidad lo único que demostró Hertz fue lo incuestionable de la acción a distancia, pero eso es ya otra historia.

Como contrapunto, vale la pena recordar otro hecho que demuestra, entre otras cosas, que Weber no se había quedado rezagado con respecto a su tiempo. Entre las décadas de 1850 y 1870 desarrolló un modelo estable del átomo con órbitas elípticas —muchas décadas antes de que Bohr propusiera su modelo de átomo circular, sin necesidad de postular fuerzas especiales para el núcleo.

La dinámica relacional de Weber muestra otro aspecto que a la luz de las presentes teorías puede parecer exótico: de acuerdo con sus ecuaciones, cuando dos cargas positivas se aproximan a una distancia crítica, producen una fuerza neta atractiva, en lugar de repulsiva. ¿Pero acaso no es la idea de una carga elemental exótica, o habrá que decir tan sólo puramente convencional? En cualquier caso, esto se aviene muy bien con el diagrama del Taijitu, en el que en puntos extremos se produce la inversión de las fuerzas polarizadas en su opuesto. Sin este rasgo, difícilmente podría hablarse de fuerzas y potenciales espontáneos, o si se quiere, “vivos”.